Kronecker-Produkt von Pauli-Matrizen

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In diesem Artikel wird eine allgemein gehaltene Näherungsmethode für verschiedene Modelle der Festkörperphysik vorgestellt.
Die Methode benutzt das Kronecker-Produkt von Pauli-Matrizen.

Sind   die vier Pauli-Matrizen, so kann man mit Hilfe des Kronecker-Produkt höherdimensionale Matrizen erzeugen.

 

Eigenschaften der Pauli-Matrizen vererben sich auf diese Matrizen. Sind   und   zwei Kronecker Produkte von Pauli-Matrizen, so gilt:

  •   sind   Matrizen
  •   (Die   Einheitsmatrix)
  •   oder   (Lemma)
  •  
  • Die Kronecker Produkte von Pauli-Matrizen sind linear unabhängg und bilden eine Basis im Vektorraum der   Matrizen

Sie spielen in der Physik eine Rolle. Hamilton Operatoren   vieler physikalischer Modelle lassen sich als Summe solcher Matrizen ausdrücken.
Insbesondere lassen sich Erzeuger und Vernichter von Fermionen, die endlich viele Zustände einnehmen können, einfach durch sie ausdrücken.

  mit   ist Kronecker Produkt von Pauli-Matrizen

Beispiele für derartige Modelle sind Hubbard-Modell, Heisenberg-Modell (Quantenmechanik) und Anderson model.
Häufig interessiert man sich für die Exponential Funktion des Hamilton Operator.

 

Aufgrund des Lemma kann man in einem Produkt die Matrizen beliebig anordnen.
Ist   eine Permutation, so ist:

 

Deshalb existieren rationale Zahlen   mit:

 

Diese rationalen Zahlen sind, von Ausnahmen abgesehen, schwer zu berechnen.
Eine erste Näherung ergibt sich, indem man nur Summanden berücksichtigt, die aus kommutierenden Matrizen bestehen.

  falls ein Paar   mit   und   existiert
  sonst

Die Näherung läßt sich weiter verbessern, indem man Paare, Tripel, ... von nicht kommutierenden Matrizen berücksichtigt.

Literatur

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  • Willi-Hans Steeb: Kronecker Product of Matrices and Applications. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim 1991, ISBN 3-411-14811-X.