Die Dauer der Nacht
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Die Dauer der Nacht kann, ähnlich wie die Berechnung des Azimuts der aufgehenden Sonne oder die Dauer des Lichten Tages mit dem Seiten-Kosinussatz der sphärischen Trigonometrie hergeleitet werden.
Man betrachte das Dreieck, das am Himmelszelt durch den Nordpol , den Zenit des Beobachters und durch die Position der Sonne bei Sonnenaufgang aufgespannt wird. ist die geographische Breite des Beobachters und die momentane Deklination der Sonne. ist die Zenitdistanz der Sonne vom Betrachter aus gesehen. Die drei Seiten des Dreiecks sind und . Bei Sonnenaufgang ist die Zenitdistanz der Sonne . ist der Winkel am Nordpol zwischen dem Meridian des Beobachters und dem momentanen Meridian der Sonne bei Sonnenaufgang.
Von Mitternacht - die Sonne steht zu diesem Zeitpunkt auf dem dem Beobachter gegenüberliegenden Meridian - bis Sonnenaufganges dreht sich die Erde um den Winkel . Die Erde dreht sich mit einer Winkelgeschwindigkeit von . Die Nachthalbe dauert daher .
Der Winkel berechnet sich wie folgt:
| Der sphärische Seiten-Kosinussatz lautet: | = | ||
| Für folgt: | = | ||
| Mit folgt: | = |
![{\displaystyle \arccos \left[{\frac {\cos c-\cos a\cdot \cos b}{\sin a\cdot \sin b}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8379b9fc15ddbd7ab1c59674c7b5351904ea3b7)
![{\displaystyle \arccos \left[-\tan \delta \cdot \tan \varphi \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a0be073921197ba494d0437f88af4c951f8e846)
Setzt man in der Formel der Nachthälfte ein und verdoppelt den Wert, so folgt für die Dauer der Nacht als Funktion der geographischen Breite und der Deklination der Sonne:
Dauer der Nacht[h]
![{\displaystyle =24h-{\frac {2\cdot \arccos \left[-\tan \delta \cdot \tan \varphi \right]}{15^{\circ }/h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2c9b77a021abdf5a140c086f2f6aa54afed1b28)
- Beim Anfang des nördlichen Winters hat die Sonne eine Deklination von . Die Sonne steht auf dem südlichen Wendekreis
- Beim Anfang des nördlichen Sommers hat die Sonne eine Deklination von . Die Sonne steht auf dem nördlichen Wendekreis
- Beim Frühlings- und Herbstbeginn hat die Sonne eine Deklination von .
Die Berechnung der Dauer der Nacht und die dazugehörende Grafik zeigen, dass am Äquator die Nächte während des ganzen Jahres exakt 12 Stunden dauern. Auf zum Beispiel 50° Breite dauert die kürzeste Nacht (bei Sommerbeginn) 7 Stunden 50 Minuten und die längste Nacht (bei Winterbeginn) 16 Stunden und 10 Minuten. An den Polarkreisen hat man einmal im Jahr (bei Winterbeginn) eine 24 Stunden lange Nacht. An den Polen steht die Sonne ein halbes Jahr über dem Horizont; die Nacht dauert also Null Stunden. Im anderen halben Jahr steht die Sonne unter dem Horizont, also dauert die Nacht 24 Stunden.