Benutzer:Ibotty/Divisor (algebraische Geometrie)

Erster Draft von Divisor (algebraische Geometrie)

In der algebraischen Geometrie gibt es das fundamentale Konzept des Divisors. Sie treten natürlich im Falle von Schnitten einer Kurve und einer Geraden auf. Gegeben sei über einem algebraisch abgeschlossenen Körper also eine ebene projektive algebraische Kurve $C$ vom Grad $d$ und eine projektive Gerade $L$. Nach dem Satz von Bézout besteht der Schnitt aus genau $d$ Punkten, sofern man diese mit der richtigen Multiplizität zählt. Bezeichne den Schnitt wie folgt:

$C\cap L=\sum m_{\mathrm {pt} }\,\mathrm {pt}$, wobei hier $m_{\mathrm {pt} }$ die zu $\mathrm {pt}$ gehörende Multiplizität ist.

Formale Summen analog der rechte Seite nennt man Weil-Divisoren.

Weil-Divisoren

Für nichtsinguläre Varietäten X (oder allgemeiner: spezielle Schemata) definiert man Weil-Divisoren als endliche formale Linearkombination von Untervarietäten (Unterschemata). Genauer soll $Div(X)$, die Gruppe aller solchen Divisoren, als von allen abgeschlossenen Untervarietäten (bzw: integralen abgeschlossenen Unterschemata) frei erzeugt werden. Diese Erzeugenden nennt man Primdivisoren.

% allgemein: ...diskreter Bewertungsring ${\mathcal {O}}_{X,\eta }$ mit Bewertung $n_{Y}$ f"ur generischen punkt$\eta \in Y$ des unterschemas. im kurvenfall?

Mittels dieser Bewertung kann man nun Hauptdivisoren definieren. Hauptdivisoren (bezeichnet als $PDiv(X)$) sind solche, die gleich des Divisors von einer Funktion sind:

$(f):=\sum n_{Y}(f)\,Y$

Es ergibt sich die wichtige Formel: $(fg)=(f)+(g)$ und $(f/g)=(f)-(g)$.

Nun kann man Divisoren als äquivalent definieren, wenn diese sich nur um einen Hauptdivisor unterscheiden. Faktorisieren der Weil-Divisoren nach den Hauptdivisoren ergibt dann die Divisorklassengruppe:

$Cl(X)=Div(X)/PDiv(X)$.

Ein Divisor $D=\sum m_{Y}\,Y$ heißt effektiv, wenn alle "Multiplizitäten" $m_{Y}$ größer Null sind.

% zu Divisoren auf Kurven... deg(D)... {closed points in Jacobian(X)} = Cl(X)...

Beispiel

Zurück zu unserem Beispiel von oben. Für projektive glatte Kurven sind abgeschlossene Untervarietäten gerade Punkte. Man sieht also, dass die zu $C\cap D$ definierte Summe ein Weil-Divisor ist.

Cartier Divisoren

Eine "Verallgemeinerung" der Weil-Divisoren sind die Cartier-Divisoren. Diese stimmen i. A. nur für faktorielle Varietäten (also solche mit faktoriellem lokalen Ring ${\mathcal {O}}_{V,x}$) bzw. lokal faktorielle Schemata überein.

% hier: lokal faktorielles Schema nicht zwangsl"aufig auch integral und separiert, also vielleicht kein Weil-Divisor definiert. erw"ahnen?