Benutzer:Iltu/Poisson-Fleck

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Der Poissonfleck, auch heller Fresnel-Fleck oder in der englischsprachigen Literatur Arago's spot genannt, ist ein Beugungsphänomen der Optik und beschreibt den hellen Fleck in der Mitte einer Beugungsfigur bei Beugung von Licht an einem kreisrunden lichtundurchlässigen Objekt. Das Phänomen ist benannt nach dem französischen Physiker und Mathematiker Siméon Denis Poisson, der es 1818 als Konsequenz der Wellennatur des Lichtes voraussagte. Poisson wollte damit ein Argument gegen die von Christiaan Huygens aufgestellte Wellennatur des Lichtes formulieren, da er die Teilchennatur des Lichtes vorzog. Für ihn war es schlicht absurd, dass Licht in den Schattenbereich eines Objektes gelangt. Die nachfolgende Bestätigung der Existenz des Flecks war ein starkes Argument für die Wellennatur. Das Phänomen wurde zwar von Giacomo Filippo Maraldi schon 1723 beschrieben, sein Werk blieb aber größtenteils unbeachtet.

Der Poissonfleck wird gerne im Schulunterricht demonstriert, um die Wellennatur des Lichts zu zeigen. In einem Versuchsaufbau muss der Durchmesser der Lichtquelle zumindest kleiner sein als das kreisförmige Objekt, das den Schatten wirft. Außerdem müssen die Größenverhältnisse des Versuchsaufbaus den Bedingungen für Fresnel-Beugung genügen. Insbesondere muss die Fresnelzahl die Bedingung

$F={\frac {d^{2}}{l\lambda }}\gtrsim 1$

erfüllen. In der Gleichung steht d für den Objektdurchmesser, l für den Abstand zwischen Objekt und Schirm und λ für die Wellenlänge der Lichtquelle. Außerdem muss die Kante des Objekts hinreichend glatt sein. Die Gesamtheit dieser Bedingungen erklärt, warum das Phänomen im Alltag nahezu niemals beobachtet wird. Dennoch ist es aufgrund der zunehmenden Verbreitung von Lasern inzwischen relativ einfach, dieses Experiment durchzuführen, wie z. B. hier [1] gezeigt wird. In der Astronomie kann der Poisson-Fleck ebenfalls leicht beobachtet werden, indem das Bild eines Sterns in einem Newtonschen Teleskop stark defokussiert wird. Dann stellt der Stern eine fast ideale Punktquelle dar, und der sekundäre Spiegel des Teleskops fungiert als kreisförmiges Objekt. Das Auftreten des Poisson-Flecks ist leicht zu verstehen. Wenn Lichtwellen auf ein kreisförmiges Hindernis treffen, wirkt gemäß dem Huygensschen Prinzip jeder Punkt in der Ebene des Hindernisses als neue punktförmige Lichtquelle. Die Lichtwellen, die von Punkten auf der Kantenlinie des Hindernisses ausgehen und im Mittelpunkt des Schattens auf den Schirm treffen, haben von allen Punkten der Kante aus exakt die gleiche Wegstrecke zurückzulegen. Deshalb erreicht das Licht, das das Objekt in sehr geringem Abstand passiert, den Schirm in Phase und interferiert dort konstruktiv. So entsteht - im Widerspruch zur geometrischen Optik und zu der Betrachtung des Lichts als Teilchen - ein heller Fleck im Zentrum des Schattens.

Geschichte

Das ursprüngliche Experiment, mit dem der Poission-Fleck erstmals beobachtet wurde, wurde zu Anfang des 19. Jahrhunderts durchgeführt und spielte eine große Rolle in der Geschichte der Naturwissenschaften. Es war ein Schlüsselexperiment zur BEantwortung der Frage, ob Licht nun Wellen- oder teilchencharakter habe. Daher ist es ein großartiges Beispiel eines sogenannten Experimentum crucis. Erst viel später, in einem von Einsteins Veröffentlichungen aus seinem Annus mirabilis, stellte sich heraus, dass Licht gleichermaßen als Welle und als Teilchen beschrieben werden kann (Welle-Teilchen-Dualismus des Lichts).

Zu Beginn des 19. Jahrhunderts wurde mehr und mehr evident, dass Licht sich nicht einfach entlang gerader Linien ausbreitet (Thomas Young veröffentlichte sein Doppelspaltexperiment im Jahr 1807 [5]). Dennoch bevorzugten viele immer noch Newtons Korpuskeltheorie des Lichts, unter anderem der großartige Theoretiker Siméon-Denis Poisson.[6] Daher veranstaltete die Französische Akademie der Wissenschaften einen Wettbewerb für die Erklärung der Eigenschaften des Lichts, in dem Poisson eines der Jurymitglieder war. Der Bauingenieur Augustin-Jean Fresnel beteiligte sich an diesem Wettbewerb, indem er eine neue Wellentheorie vorschlug [7]. Poisson vollzog Fresnels Theorie im Detail nach und suchte natürlich nach einem Weg, um nachzuweisen, dass sie falsch war, da er selbst ein Unterstützer der Teilchen-Theorie des Lichts war. Poisson meinte, einen Fehler gefunden zu haben, als er wie folgt argumentierte: Eine Schlussfolgerung aus Fresnels Theorie war, dass im Mittelpunkt des Schattens eines kreisförmigen Hindernisses, das auf einer Achse mit Lichtquelle und Schirm ausgerichtet ist, ein heller Fleck entstehen musste, wohingegen gemäß der Teilchentheorie an diesem Punkt vollständige Donkelheit herrschen müsste. Wie bereits erwähnt, ist der Poisson-Fleck in alltäglichen situationen nicht leicht zu beobachten, so dass es für Poisson völlig natürlich schien, diesen als absurde Vorstellung anzunehmen und davon auszugehen, dass Fresnels Theorie so entkräftet werden könnte. Der Vorsitzende des Kommittees, Dominique-François-Jean Arago, der später Permierminister von Frankreich werden sollte, entschied, dass das Experiment exakter werden sollte. Er verschmolz eine 2 mm dicke metallische Scheibe mit Wachs mit einer Glasplatte (?). Zu aller Überraschung beobachtete er den vorhergesagten hellen Fleck, der die meisten Wissenschaftler von der Wellennatur des Lichts überzeugte. Am ende gewann Fresnel den Wettbewerb, sehr zu Poissons Leidwesen. Arago stellte später fest, dass das Phänomen (das später als Poisson-Fleck oder Fleck von Arago) schon ein Jahrhundert früher von Delisle und Maraldi beobachtet worden war.

Theorie

Notation for calculating the wave amplitude at point P₁ from a spherical point source at P₀.

At the heart of Fresnel's wave theory is the Huygens-Fresnel principle, which states that every unobstructed point of a wavefront becomes the source of a secondary spherical wavelet and that the amplitude of the optical field E at a point on the screen is given by the superposition of all those secondary wavelets taking into account their relative phases. This means that the field at a point P₁ on the screen is given by a surface integral:

$U(P_{1})={\frac {Ae^{\mathbf {i} kr_{0}}}{r_{0}}}\int \int _{S}{\frac {e^{\mathbf {i} kr_{1}}}{r_{1}}}K(\chi )dS.$

where the inclination factor $K(\chi )$ which ensures that the secondary wavelets do not propagate backwards is given by

$K(\chi )={\frac {\mathbf {i} }{2\lambda }}(1+\cos(\chi ))$

and

A is the amplitude of the source wave

$k={\frac {2\pi }{\lambda }}$ is the wavenumber

S is the unobstructed surface

The first term outside of the integral represents the oscillations from the source wave at a distance r₀. Similarly, the term inside the integral represents the oscillations from the secondary wavelets at distances r₁.

In order to derive the intensity behind the circular obstacle using this integral one assumes that the experimental parameters fulfill the requirements of the near-field diffraction regime (the size of the circular obstacle is large compared to the wavelength and small compared to the distances g=P₀C and b=CP₁). Going to polar coordinates then yields the integral for a circular object of radius a (see for example Born and Wolf):

$U(P_{1})=-{\frac {\mathbf {i} }{\lambda }}{\frac {Ae^{\mathbf {i} k(g+b)}}{gb}}2\pi \int _{a}^{\infty }e^{\mathbf {i} k{\frac {1}{2}}({\frac {1}{g}}+{\frac {1}{b}})r^{2}}rdr$

The on-axis intensity at the center of the shadow of a small circular obstacle converges to the unobstructed intensity.

This integral can be solved numerically (see below). If g is large and b is small so that the angle $\chi$ is not negligible one can write the integral for the on-axis case (P₁ is at the center of the shadow) as (see ):

$U(P_{1})={\frac {Ae^{\mathbf {i} kg}}{g}}{\frac {b}{\sqrt {b^{2}+a^{2}}}}e^{\mathbf {i} k{\sqrt {b^{2}+a^{2}}}}$

The source intensity, which is the square of the field amplitude, is $I_{0}=\left|{\frac {Ae^{\mathbf {i} kg}}{g}}\right|^{2}$ and the intensity at the screen $I=\left|U(P_{1})\right|^{2}$. The on-axis intensity as a function of the distance b is hence given by:

$I={\frac {b^{2}}{b^{2}+a^{2}}}I_{0}$

This shows that the on-axis intensity at the center of the shadow tends to the source intensity, as if the circular object was not present at all. Furthermore, this means that the Arago spot is present even just a few obstacle diameters behind the disc.

Berechnung von Beugungsbildern

To calculate the full diffraction image that is visible on the screen one has to consider the surface integral of the previous section. One cannot exploit circular symmetry anymore, since the line between the source and an arbitrary point on the screen does not pass through the center of the circular object. With the aperture function $g(r,\theta )$ which is 1 for transparent parts of the object plane and 0 otherwise (i.e. It is 0 if the direct line between source and the point on the screen passes through the blocking circular object.) the integral that needs to be solved is given by:

$U(P_{1})\propto \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }g(r,\theta )e^{{\frac {\mathbf {i} \pi \rho ^{2}}{\lambda }}\left({\frac {1}{g}}+{\frac {1}{b}}\right)}\rho d\rho d\theta$

Numerical calculation of the integral using the trapezoidal rule or Simpson's rule is not efficient and becomes numerically unstable especially for configurations with large Fresnel number. However, it is possible to solve the radial part of the integral so that only the integration over the azimuth angle remains to be done numerically. For a particular angle one must solve the line integral for the ray with origin at the intersection point of the line P₀P₁ with the circular object plane. The contribution for a particular ray with azimuth angle $\theta _{1}$ and passing a transparent part of the object plane from $r=s$ to $r=t$ is:

$R(\theta _{1})\propto e^{\pi \mathbf {i} s^{2}/2}-e^{\pi \mathbf {i} t^{2}/2}$

So for each angle one has to compute the intersection point(s) of the ray with the circular object and then sum the contributions $I(\theta _{1})$ for a certain number of angles between 0 and $2\pi$. Results of such a calculation are shown in the following images.

The images show simulated Arago spots in the shadow of a disc of varying diameter (4 mm, 2 mm, 1 mm – left to right) at a distance of 1 m from the disc. The point source has a wavelength of 633 nm (e.g. He-Ne Laser) and is located 1 m from the disc. The image width corresponds to 16 mm.

Experimentelle Aspekte

Die Beobachtung des Poissonflecks mit einer gängigen Lichtquelle kann eine große Herausforderung sein. Dieser Abschnitt fasst zusammen, wie die verschiedenen Versuchsparameter die Sichtbarkeit des Flecks beeinflussen.

Intensität und Größe

For an ideal point source the intensity of the Arago spot equals that of the undisturbed wave front. Only the width of the Arago spot intensity peak depends on the distances between source, circular object and screen, as well as the source's wavelength and the diameter of the circular object. This is clear from the simulation images above. This means that one can compensate for a reduction in the source's wavelength by increasing the distance l between circular object and screen or reducing the circular object's diameter.

The lateral intensity distribution on the screen has in fact the shape of a squared zeroth Bessel function of the first kind when close to the optical axis and using a plane wave source (point source at infinity):

$U(P_{1},r)\propto J_{0}^{2}({\frac {\pi rd}{\lambda b}})$

where

r is the distance of the point $P_{1}$ on the screen from the optical axis

d is the diameter of circular object

$\lambda$ is the wavelength

b is the distance between circular object and screen

The following images show the radial intensity distribution of the simulated Arago spot images above:

The red lines in these three graphs correspond to the simulated images above, and the green lines were computed by applying the corresponding parameters to the squared Bessel function given above.

Begrenzte Quellengröße und räumliche Kohärenz

Der Hauptgrund, warum der Poissonfleck in kreisförmigen Schatten gewöhnlicher Lichtquellen nur schwer beobachtet werdenkann, ist, dass diese Lichtquellen nur eine schlechte Näherung für Punktquellen darstellen. Wenn die Lichtwellenquelle eine endliche Größe S hat, wird die Ausdehnung des Poissonflecks beschrieben als S×b/g, als wäre das Objekt eine Linse [11]. Gleichzeitig nimmt die Intensität des Poissonflecks im gleichen Maß ab wie die der ungestörten Wellenfront.

Abweichungen von der Kreisform

Wenn der Querschnitt des kreisförmigen Objekts leicht von seiner Kreisform abweicht (?) (aber auf einer kleineren Größenskala immer noch eine scharfe Kante hat)verändert sich die Form des Flecks. Insbesondere wenn dasObjekt einen elliptischen Querschnitt hat, nimmt der Poissonfleck die Form einer Evolute an. Dies gilt aber nur, wenn die Lichtquelle tatsächlich fast ideale Punktform hat. Bei einer Lichtquelle endlicher Ausdehnung ist der Poissonfleck nur marginal verformt, da man den Poissonfleck auch als Punktspreizfunktion sehen kann. Daher wird das Bild bei einer ausgedehnteren Lichtquelle nur gemäß der Punktspreizung verwaschen, nimmt aber nicht in der Gesamtintensität ab.

Oberflächenrauhigkeit des Objekts

Der Poisson-Fleck reagiert sehr empfindlich auf kleine Abweichungen von der idealen Kreisform. Daher kann schon eine kleine Kantenrauhigkeit das Entstehen des Interferenzflecks vollständig verhindern. Dies ist in den folgenden drei Diagrammen gezeigt, die Simulationen des Poisson-Flecks einer Scheibe mit 4 mm Durchmesser darstellen (g = b = 1 m):

Die Simulation schließt eine reguläre sinusförmige Welligkeit der Kantenlinie mit 10 µm, 50 µm beziehungsweise 100 µm, ein. Im dritten Bild mit 100 µm Amplitude ist der zentrale helle Punkt fast verschwunden.

Dieser Effekt kann am besten mit dem Konzept der Fresnelzone verstanden werden. Das kreisförmige Objekt blockiert eine gewissen Anzahl von Fresnelzonen. Die einzige Zone, die einen Beitrag zum Poissonfleck erbringt, ist diejenige, die mit der Kante des Objekts beginnt. Alle weiter entfernten Zonen interferieren desttruktiv und löschen sich daher gegenseitig aus. Eine zufällige Kantenrauhigkeit, deren Amplitude in der Größenordnung der angrenzenden Fresnelzone liegt, verringert die Intensität des Poissonflecks. Beiträge von dem Teil der Kante, deren Mittenabstand durch die Rauhigkeit vergrößert wurde, löschen nun die Beiträge der Teile aus, die aufgrund der Unebenheit näher am Zentrum des Objekts liegen

Die angrenzende Fresnelzone wird näherungsweise beschrieben durch [17]

$\Delta r\approx {\sqrt {r^{2}+\lambda {\frac {gb}{g+b}}}}-r$

Die Kantenunebenheit sollte möglichst nicht größer als 10 % dieser Entfernung sein, um den Poissonfleck klar sichtbar werden zu lassen. In der obigen Simulation mit der 4 mm großen Scheibe hat die Fresnelzone eine Größe von etwa 77 µm.

Poisson-Fleck mit Materiewellen

2009 wurde der Poisson-Fleck-Versuch mit einem sich überschallschnell ausbreitenden Strahl von Deuteriummolekülen durchgeführt, mit sogenannten neutralen Materiewellen. Die Teilchen verhalten sie wie Wellen, wie es durch die Quantenmechanik vorhergesagt wird. Die Wellennatur von Teilchen geht zurück auf de Broglies Hypothese und Experimente von Davisson und Germer. Ein Poisson-Fleck von Elektronen, die ebenfalls Materiewellen darstellen, kann in Transmissionselektronenmikroskopen beobachtet werden, wenn kreisförmige Strukturen einer bestimmten Größe untersucht werden. Die Beobachtung des Poissonflecks mit großen Molekülen (und damit der Nachweis ihres Wellencharakters) ist Gegenstand aktueller Forschung.

Andere Anwendungen

Neben der Demonstration der Wellennatur des Lichts existieren wenige andere Anwendungen. Eine Idee ist die Nutzung des Poisson-Flecks als Referenz für eine gerade Linie bei Justierungssystemen (see Feier et al. . Weiterhin kann die Empfindlichkeit des Flecks auf Aberrationen verwendet werden, um die Aberrationen von Laserstrahlen zu untersuchen.

Weblinks

• Versuchsanordnung und Ergebnis (Quelle: Universität Ulm, Vorlesungssammlung Physik)
• Beugung und Interferenz (Quelle: R. Gross: Physik III, Kapitel 5, siehe S. 207 f. )

Kategorie:Welle Kategorie: Optik

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