Wikipedia ist ein Wiki, sei mutig!
Falls Textteile in einen bestehenden Artikel eingearbeitet werden, wird der Text von hier übernommen unabhängig vom Autor, der Versionsverlauf und somit die Autorenschaften gehen verloren.
Die Berechnung einer Kraft- oder Verschiebungsgröße, als Funktion von x infolge einer Wanderlast mit F=1 liefert eine Einflussfunktion, ihre graphische Darstellung heißt Einflusslinie.[1] Sie dient (unter anderem) bei mehreren möglichen Belastungsfällen der effizienten Bestimmung der Belastung die zu einer maximalen (bzw. minimalen) Schnittgröße (N, V, M) führt für eine bestimmten Postition xBemessungsstelle Eine Einflusslinie sagt nicht nur aus ob eine Last günstig (entlastend) oder ungünstig(belastend) wirkt, sondern auch wie groß der quantitative Einfluss einer Last die an einem Punkt xBelastung auf die zu suchende Schnittgröße an der Stelle xBemessungsstelle ist.
Definition
BearbeitenEine Einflusslinie beschreibt, jenen Faktor, der angibt wie groß die gesuchte Zustandsgröße (Kraftgröße wie Schnittgröße oder Auflagerreaktion; oder eine Verschiebungsgröße wie Verschiebungen oder Verdrehungen) ist an der Stelle xBemessung ist, wenn eine Belastung angreift.[2][3] Meistens werden Einflusslinien für Biegemomente oder Querkräfte bei einer Belastung durch eine Einzellast erstellt, diese sind auch für Beanspruchungen für Streckenlasten geeignet.
Vergleich mit Zustandslinien
Bearbeiten| Zustandslinien | Einflusslinien | |
| Ort der Belastung: | ortsfest[4]: (zuvor definiert, für den LF konstant) |
variabeler Angriffspunkt[4]: (dort wo die Linie aufgetragen wird) |
| Ort der Beanspruchung: | variabel: (dort wo die Linie aufgetragen wird[4]) |
ortsfest: (bestimmter Punkt[4]) |
Eine Einflusslinie ist wie eine Zustandslinie eine Funktion in Abhängigkeit der Stabachsenkoordinate x, Einflusslinien unterscheiden sich aber wesentlich von Zustandslinien.[4] Während Zustandslinien nur für einen bestimmten Lastfall (LF) gelten, sind Einflusslinien universelle für beliebige Belastungen auswertbar. Einflusslinien werden in der Regel dafür angewandt, wenn man etwas an einer bestimmten Stelle Dimensionieren will. Beispiel hierfür wäre ein Montagestoß oder eine Auflagerreaktion.
Satz von Betti
Bearbeiten
Sowohl für die Einflusslinien von Weggrößen, als auch für die Einflusslinie von Schnittgrößen bei statisch unbestimmten Systemen sind Reziprozitätstheoreme[5][6][7] eine wesentliche Grundlage.[8]
Bei rein linear elastischen Materialverhalten, sind Verformungen nicht von der Belastungsgeschichte abhängig, sondern nur aktuellen Belastung abhängig. Da die bei rein elastischen Materialverhalten sämtliche geleistete Arbeit im Sinne von Deformationsenergien rückgewinnbar ist, muss die geleistete Arbeit unabhängig davon sein, in welcher Reihenfolge die Belastungen aufgebracht wurden.
Betrachten wir System 1, wie im Bild rechts dargestellt: Dort wird zuerst F an der Stelle i und dann P an der Stelle j aufgebracht, hier ist bei linearer Elastizität die geleistete Arbeit der äußeren Kräfte:
In System 2, wird zuerst an der Stelle j mit der Last P und anschließend mit der Last F an der linken Stelle belastet, wie im Bild rechts dargestellt. Unter Annahme der linearen Elastizität ist die Arbeit der äußeren Kräfte somit:
Da die geleistete Arbeit unabhänig vom Belastungsverlauf, also wegunahänig ist, folgt:
somit folgt der Satz von Betti[8]:
Der Satz von Betti gilt für beliebige Belastungen, das heißt F und P stehen nur nicht für Kräfte, wie in diesem Fall sondern gelten für alle Kräftgrößen, wie zum Beispiel auch Momente.[9] Hier ist anzumerken, dass dann die Weggrößen δ nicht nur für Verschiebungen, sondern für Weggrößen beliebiger Art sind unter anderem auch Verdrehungen Hieraus folgen folgende Formulierungen:
Man beachte dass der erste Indizes der Weggröße den Ort der Weggröße und der zweite Indizes die Ursache beschreibt. Die Weggröße δij muss der energetisch konjungierte[9] Arbeitspartner der Kraftgröße P{(j)} sein.
Spezialisiert man den Satz von Betti für F=1 und P=1 folgt der Satz von Maxwell[8]:
Satz von Betti für Einflusslinien
BearbeitenWenn wir an der Bemessungstelle xi die Verschiebung zufolge einer Last an einer Belastungsstelle xj wissen wollen ist es, mithilfe des Satzes von Maxwell, möglich statt die Last an Belasungsstelle xj zu setzen, diese Belastung an die Bemessungstelle xi zu setzen und die Verschiebung an der Belastungsstelle xj zu bestimmen, da diese ident ist mit der gesuchten Verschiebung.
Diese Analogie wird für die Konstruktion von Einflusslinien von Verschiebungen verwendet indem man eine gedankliche Last F=1 ausschließlich an die Bemessungstelle xi setzt mit dieser die Durchbiegungen des Systems bestimmt. Da diese Durchbiegungen δij, an der Stelle xi zufolge einer Einheitslast an der Stelle xj, ident sind mit der Durchbiegung δji, an der Stelle xj zufolge einer Einheitslast an der Stelle xi, folgt daraus, dass die Durchbiegungen der Einflusslinie für die Durchbiegung an der Stelle xi.
Einflusslinien für Schnittgrößen bei statisch bestimmten Systemen
Bei statisch bestimmten Systemen bestehen die Einflusslinien aus stückweise linearen Funktionen. Die Konstruktion erfolgt in dem man eine energetisch konjugierte (virtuelle) Weggröße aufbringt. Diese ist so zu wählen, dass die Kraftgröße an ihr negative Arbeit leistet.[8]
Einzelnachweise
Bearbeiten- ↑ Karl-Heinrich Dubbel, Jörg Feldhusen (Hrsg.): Dubbel – Taschenbuch für den Maschinenbau. 23., aktualisierte und erweiterte Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-17305-9, doi:10.1007/978-3-642-38891-0.
- ↑ Ruhr-Universität Bochum - Lehrstuhl für Statik und Dynamik: Einflusslinien. (PDF) Ruhr-Universität Bochum - Lehrstuhl für Statik und Dynamik, 21. November 2011, S. 79-87, abgerufen am 16. April 2017.
- ↑ Universität Siegen - Lehrstuhl für Baustatik: Einflusslinien (Berechnungshinweise). (PDF) Universität Siegen - Lehrstuhl für Baustatik, 8. April 2008, abgerufen am 16. April 2017.
- ↑ a b c d e Konstantin Meskouris und Erwin Hake: Statik der Stabtragwerke: Einführung in die Tragwerkslehre. Springer-Verlag, 2009, ISBN 978-3-540-88993-9, ISSN 0937-7433, doi:10.1007/978-3-540-88993-9 (springer.com).
- ↑ Karl-Eugen Kurrer: Geschichte der Baustatik. John Wiley & Sons, Berlin 2002, ISBN 3-433-01641-0, S. 462 (539 S., eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
- ↑ Karl-Eugen Kurrer: Geschichte der Baustatik: Auf der Suche nach dem Gleichgewicht. 2.,stark erweiterte Auflage. John Wiley & Sons, Berlin 2016, ISBN 978-3-433-03134-6, S. 518, 523, 948, 962, 1015, 1161 (1188 S., eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
- ↑ Dietmar Gross, Thomas Seelig: Bruchmechanik: mit einer Einführung in die Mikromechanik. 6.,erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-46737-4, S. 32, doi:10.1007/978-3-662-46737-4 (370 S., springer.com; eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
- ↑ a b c d e f g h *Bernhard Pichler, Josef Eberhardsteiner: Baustatik VO – LVA-Nr 202.065. Hrsg.: E202 Institut für Mechanik der Werkstoffe und Strukturen - Fakultät für Bauingenieurwesen, TU Wien - 1040 Wien, Karlsplatz 13/202. SS 2017 Auflage. TU Verlag, Wien 2017, ISBN 978-3-903024-41-0, 12.6 Einflusslinien in 12 Schnittgrößenermittlung in Teil II Statisch bestimmte Stabtragwerke, S. 183–193 (516 Seiten, tuverlag.at).
*Bernhard Pichler, Josef Eberhardsteiner: Baustatik VO – LVA-Nr 202.065. Hrsg.: E202 Institut für Mechanik der Werkstoffe und Strukturen - Fakultät für Bauingenieurwesen, TU Wien - 1040 Wien, Karlsplatz 13/202. SS 2017 Auflage. TU Verlag, Wien 2017, ISBN 978-3-903024-41-0, 23 Reziprozitätstheoreme als Grundlage für Einflusslinien, S. 423–443 (516 Seiten, tuverlag.at). - ↑ a b c d e Dieter Dinkler: Einflusslinien für Weggrößen. In: Grundlagen der Baustatik. Springer, 2016, ISBN 978-3-658-13850-9, S. 172–178, doi:10.1007/978-3-658-13850-9_12 (springer.com).
- ↑ Dieter Dinkler: Einflusslinien statisch unbestimmter Systeme. In: Grundlagen der Baustatik. Springer, 2014, ISBN 978-3-658-13850-9, S. 269–278, doi:10.1007/978-3-658-05172-3_19 (springer.com).