Benutzer:KonstantinVonGutensteinStreiteben/Sandkasten

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In der mathematischen Theorie der algebraischen Zahlen, also der komplexen Nullstellen α∈C, p(α)=0, von univariaten Polynomen p(X)∈Z[X] mit ganzen rationalen Zahlen als Koeffizienten, versteht man unter dem p-Klassenkörperturm eines algebraischen Zahlkörpers K=Q(α) die maximale unverzweigte pro-p-Erweiterung F_p^∞(K) von K für eine fest vorgegebene Primzahl p. Die Gruppe der Automorphismen von F_p^∞(K), welche den Grundkörper K invariant lassen, heißt die p-Turmgruppe G:=G_p^∞(K):=Gal(F_p^∞(K)/K) von K. Im Fall eines unendlichen p-Klassenkörperturms F_p^∞(K) ist G eine topologische Gruppe mit der Krull-Topologie.

Tabelle 1: Invarianten der 3-Klassenkörpertürme imaginär-quadratischer Zahlkörper

d	Typus	κ	τ	Gp2(K)	Gp∞(K)	Ref.
-3896	H.4	(4443)	[111,111,21,111]	⟨729,45⟩	⟨6561,606⟩
-4027	D.10	(2241)	[21,21,111,21]	⟨243,5⟩	⟨243,5⟩
-9748	E.9	(2231)	[32,21,21,21]	⟨2187,302⟩	⟨6561,620⟩
			or	⟨2187,306⟩	⟨6561,624⟩
-12131	D.5	(4224)	[111,21,111,21]	⟨243,7⟩	⟨243,7⟩
-15544	E.6	(1313)	[32,21,111,21]	⟨2187,288⟩	⟨6561,616⟩
-16627	E.14	(2313)	[32,21,111,21]	⟨2187,289⟩	⟨6561,617⟩
			or	⟨2187,290⟩	⟨6561,618⟩
-34867	E.8	(1231)	[32,21,21,21]	⟨2187,304⟩	⟨6561,622⟩

Stufen und Länge des p-Klassenkörperturms

Die absteigende Reihe der iterierten Kommutatoruntergruppen von G, G=G⁽⁰⁾>G⁽¹⁾>G⁽²⁾>… mit G⁽ⁿ⁺¹⁾:=[G⁽ⁿ⁾,G⁽ⁿ⁾] für n≥0, gibt im Sinne der Galoiskorrespondenz Anlass für die Stufen (Etagen, Stockwerke) des Turms, welche gegeben sind durch F_pⁿ(K):=Fix(G⁽ⁿ⁾), beziehungsweise gleichwertig durch Gal(F_p^∞(K)/F_pⁿ(K))=G⁽ⁿ⁾, für n≥0. Aufgrund des Isomorphiesatzes ist G_pⁿ(K):=Gal(F_pⁿ(K)/K)≅Gal(F_p^∞(K)/K)/Gal(F_p^∞(K)/F_pⁿ(K))=G/G⁽ⁿ⁾ die Galoisgruppe des n-ten Hilbert p-Klassenkörpers F_pⁿ(K) von K, isomorph zum n-ten abgeleiteten Quotienten von G, und wird als n-te p-Klassengruppe von K bezeichnet. Für n=1 ergibt sich mit Hilfe des Reziprozitätsgesetzes von Artin die Isomorphie der Abelianisierung der p-Turmgruppe, G/G⁽¹⁾≅Gal(F_p¹(K)/K)≅Cl_p(K), zur (gewöhnlichen) ersten p-Klassengruppe von K, also zur Sylow p-Untergruppe der (endlichen abelschen) Idealklassengruppe Cl(K) von K, als Galoisgruppe der maximalen abelschen unverzweigten p-Erweiterung F_p¹(K) von K. Die p-Turmgruppe G ist entweder eine unendliche pro-p-Gruppe mit endlicher Abelianisierung G/G⁽¹⁾ oder eine endliche p-Gruppe. Im ersteren Fall ist auch der p-Klassenkörperturm von K, K<F_p¹(K)<F_p²(K)<…<F_p^∞(K), von unendlicher Länge λ_p(K)=∞ und G=G_p^∞(K)≅lim_←G_pⁿ(K) ist der projektive Limes der Galoisgruppen aller Stufen des Turmes. Im letzteren Fall ist G auflösbar und nilpotent und der Turm K<F_p¹(K)<F_p²(K)<…<F_p^λ(K)=F_p^λ+1(K)=F_p^∞(K) endet bei der abgeleiteten Länge von G, λ_p(K)=λ=dl(G), präziser ausgedrückt: wird dort stationär.

Relationenrang der p-Turmgruppe

Für die Bestimmung der Länge eines p-Klassenkörperturms ist die Abschätzung des Relationenrangs von G=G_p^∞(K) von entscheidener Bedeutung. G operiert trivial auf dem endlichen Körper GF(p) mit p Elementen und die kohomologischen Dimensionen d₁(G):=dim H¹(G,GF(p)), bzw. d₂(G):=dim H²(G,GF(p)), heißen Generatorenrang, bzw. Relationenrang, von G. Für einen Grundkörper K mit der Signatur (r,c), also mit dem torsionsfreien Dirichlet-Einheitenrang u:=r+c-1, hat Shafarevich die folgende Abschätzung des Relationenrangs der p-Turmgruppe hergeleitet: d₁(G)≤d₂(G)≤d₁(G)+u+θ, wobei θ:=1, falls K die p-ten Einheitswurzeln enthält, und θ:=0 anderenfalls. Aufgrund der Isomorphie G/G⁽¹⁾≅Cl_p(K) ist der Generatorenrang d₁(G) von G gleich dem p-Klassenrang ρ_p(K) von K, also gleich der Anzahl der Basiselemente der p-Klassengruppe Cl_p(K). Für den besonders ausführlich untersuchten einfachsten Spezialfall eines imaginär-quadratischen Grundkörpers K haben Koch und Venkov aus dem kohomologischen Kriterium von Shafarevich das folgende grundlegende Resultat abgeleitet.

Satz von Koch und Venkov. Für eine ungerade Primzahl p≥3 ist die p-Turmgruppe G=G_p^∞(K) eines imaginär-quadratischen Zahlkörpers K eine sogenannte Schur σ-Gruppe mit ausgewogener Präsentation d₂(G)=d₁(G) und mit einem Automorphismus σ∈Aut(G), welcher auf der Abelianisierung G/G⁽¹⁾ die Inversion x→x^-1 hervorruft. (Wegen der Isomorphie G/G⁽¹⁾≅H¹(G,GF(p)) heißt σ ein generatoren-invertierender (GI-)Automorphismus.)

Zusatz von Schoof. Für eine ungerade Primzahl p≥3 und für jede ganze Zahl n≥2 besitzt die n-te p-Klassengruppe U=G_pⁿ(K) eines beliebigen (imaginären oder reellen) quadratischen Zahlkörpers K einen Automorphismus σ∈Aut(U), der sowohl auf H¹(U,GF(p)) als auch auf H²(U,GF(p)) die Inversion x→x^-1 induziert. (σ heißt daher ein relatoren-invertierender (RI-)Automorphismus.)

Tabelle 2: Invarianten der 3-Klassenkörpertürme reell-quadratischer Zahlkörper

d	Typus	κ	τ	Gp2(K)	Gp∞(K)	Ref.
32009	a.3	(2000)	[21,11,11,11]	⟨81,8⟩	⟨81,8⟩
62501	a.1	(0000)	[22,11,11,11]	⟨729,99⟩	⟨729,99⟩
72329	a.2	(1000)	[21,11,11,11]	⟨81,10⟩	⟨81,10⟩
142097	a.3	(2000)	[111,11,11,11]	⟨81,7⟩	⟨81,7⟩
152949	a.1	(0000)	[22,11,11,11]	⟨729,100⟩	⟨729,100⟩
214712	G.19	(4321)	[21,21,21,21]	⟨729,57⟩	⟨2187,311⟩
252977	a.1	(0000)	[22,11,11,11]	⟨729,101⟩	⟨729,101⟩
342664	E.9	(2231)	[32,21,21,21]	⟨2187,302⟩	⟨6561,620⟩
			or	⟨2187,306⟩	⟨6561,624⟩
494236	a.3↑	(2000)	[32,11,11,11]	⟨729,97⟩	⟨729,97⟩
			or	⟨729,98⟩	⟨729,98⟩
534824	c.18	(0313)	[22,21,111,21]	⟨729,49⟩	⟨2187,291⟩
540365	c.21	(0231)	[22,21,21,21]	⟨729,54⟩	⟨2187,307⟩
				or	⟨2187,308⟩
790085	a.2↑	(1000)	[32,11,11,11]	⟨729,96⟩	⟨729,96⟩
957013	H.4	(4443)	[111,111,21,111]	⟨729,45⟩	⟨2187,273⟩
2905160	a.1↑	(0000)	[33,11,11,11]	⟨6561,2227⟩	⟨6561,2227⟩
3918837	E.14	(2313)	[32,21,111,21]	⟨2187,289⟩	⟨2187,289⟩
			or	⟨2187,290⟩	⟨2187,290⟩
4760877	E.9	(2231)	[32,21,21,21]	⟨2187,302⟩	⟨2187,302⟩
			or	⟨2187,306⟩	⟨2187,306⟩
5264069	E.6	(1313)	[32,21,111,21]	⟨2187,288⟩	⟨6561,616⟩
6098360	E.8	(1231)	[32,21,21,21]	⟨2187,304⟩	⟨6561,622⟩
7153097	E.6	(1313)	[32,21,111,21]	⟨2187,288⟩	⟨2187,288⟩
8632716	E.8	(1231)	[32,21,21,21]	⟨2187,304⟩	⟨2187,304⟩
9433849	E.14	(2313)	[32,21,111,21]	⟨2187,289⟩	⟨6561,617⟩
			or	⟨2187,290⟩	⟨6561,618⟩
10200108	a.3↑↑	(2000)	[43,11,11,11]	⟨6561,2223⟩	⟨6561,2223⟩
			or	⟨6561,2224⟩	⟨6561,2224⟩
10399596	a.1↑	(0000)	[33,11,11,11]	⟨6561,2225⟩	⟨6561,2225⟩
14458876	a.2↑↑	(1000)	[43,11,11,11]	⟨6561,2222⟩	⟨6561,2222⟩
27780297	a.1↑	(0000)	[33,11,11,11]	⟨6561,2226⟩	⟨6561,2226⟩

Artin-Muster der p-Turmgruppe

Auf dem Wege zur Identifikation der p-Turmgruppe G eines vorgegebenen Zahlkörpers K verwendet man zunächst das Artin-Muster AP=(κ,τ), um die Metabelianisierung M:=G/G⁽²⁾ von G zu finden. Dieses Muster besteht aus der Gesamtheit der Kerne κ:=(ker(V(G,U))) und Ziele τ:=(U/U⁽¹⁾), genauer: der logarithmischen abelschen Quotienten-Invarianten der Ziele, der Artin-Verlagerungen V(G,U):G/G⁽¹⁾→U/U⁽¹⁾ der Gruppe G in ihre maximalen Untergruppen U vom Index p. In vielen Fällen führt diese Strategie der Mustererkennung mittels Artin-Verlagerungen zur eindeutigen Identifizierung zumindest der zweiten Stufe des Turmes, also der metabelschen Galoisgruppe M≅G_p²(K) des zweiten Hilbert p-Klassenkörpers F_p²(K) von K, als Approximation der vollen p-Turmgruppe G. Auf jeden Fall liefert dieser Prozess nur endlich viele Kandidaten für G_p²(K). Historisch gesehen geht die Idee zu dieser Vorgangsweise auf die Untersuchungen von Scholz und Taussky im Jahre 1934 zurück, aus welchen auch die Bezeichnungen für den Typus in den Tabellen 1 und 2 herrühren. Diese Autoren bestimmten aus dem Kapitulationstypus (kurz: Typus) κ imaginär quadratischer Zahlkörper K mit elementarer 3-Klassengruppe Cl₃(K) vom Rang ρ₃(K)=2 die symbolische Ordnung, das heißt das Annihilatorideal aller bivariaten Polynome f(X,Y)∈Z[X,Y] mit der Eigenschaft s^f(x,y)=1, des Hauptkommutators s=[y,x] der metabelschen Gruppe M:=G₃²(K) vom Erzeugendenrang d₁(M)=2, also mit zwei Generatoren x und y. Die zweite Komponente τ des Artin-Musters kam bei Scholz und Taussky noch in einer rudimentären Ausprägung in Form der 3-Klassenzahlen der vier unverzweigten zyklisch-kubischen Erweiterungen von K ins Spiel, war aber zusammen mit κ hinreichend für die eindeutige Identifikation der Gruppe M. In der experimentellen, computerunterstützten Mathematik dient das Artin-Muster als Suchbegriff für Datenbankabfragen entweder in der SmallGroups Bibliothek oder in Erweiterungen dieser Bibliothek, welche mit Hilfe des p-Gruppen Erzeugungsalgorithmus von Newman und O' Brien konstruiert werden. Die Verwendung der expliziten Struktur von τ in Form der abelschen Typinvarianten der 3-Klassengruppen (anstelle der 3-Klassenzahlen) der vier unverzweigten zyklisch-kubischen Erweiterungen von K kann dabei zu einer erheblichen Einschränkung der Kandidaten für die Gruppe M führen.

Konkrete Beispiele von p-Klassenkörpertürmen

Systematisch erforscht wurden bisher die p-Klassenkörpertürme von quadratischen Zahlkörpern für ungerade Primzahlen p≥3. Ein quadratischer Zahlkörper K=Q(√d) entsteht durch Adjunktion einer der beiden Nullstellen √d und -√d des Polynoms p(X)=X²-d mit einer Fundamentaldiskriminante d≡0,1(mod 4), d≠1, an den Körper Q der rationalen Zahlen. Einige grundlegende Regeln für die Länge λ_p(K) des p-Klassenkörperturms eines quadratischen Zahlkörpers K lassen sich in Termen des p-Klassenrangs ρ_p(K) von K ausdrücken:

• Der triviale Fall λ_p(K)=0 tritt bei einem beliebigen Zahlkörper K genau dann auf, wenn auch ρ_p(K)=0, also die Klassenzahl von K nicht durch p teilbar ist.
• Einstufige Türme mit λ_p(K)=1 sind bei quadratischen Grundkörpern K charakteristisch für zyklische p-Klassengruppen mit ρ_p(K)=1. Diese Äquivalenz geht bei anderen Arten von Grundkörpern leider verloren. So ist für Zahlkörper K dritten und vierten Grades die Bedingung ρ_p(K)=1 zwar noch hinreichend aber im allgemeinen nicht mehr notwendig für λ_p(K)=1.
• Koch und Venkov haben gezeigt, dass imaginär-quadratische Zahlkörper K mit mindestens dreibasiger p-Klassengruppe, also mit ρ_p(K)≥3, einen unendlichen p-Klassenkörperturm mit λ_p(K)=∞ besitzen.
• Den abwechslungsreichsten Fall bilden die quadratischen Zahlkörper K mit p-Klassenrang ρ_p(K)=2, für die theoretisch alle Längen 2≤λ_p(K)≤∞möglich sind, von denen aber bisher (Stand 25.04.2020) nur Situationen mit λ_p(K)=2 und λ_p(K)=3 rigoros nachgewiesen werden konnten.

Die zweite Etage G₃²(K) des 3-Klassenkörperturms aller quadratischen Zahlkörper K=Q(√d) mit Fundamentaldiskriminanten d im Bereich -10⁶<d<10⁷ und elementarer 3-Klassengruppe Cl₃(K) vom Rang zwei wurde im Jahre 2010 in einem aufwändigen, mehrere Monate an CPU-Zeit in Anspruch nehmenden Projekt bestimmt, dessen zugrundeliegende neuartige Algorithmen unter dem Schlagwort Kapitulationstypus mittels Klassengruppenstruktur publiziert wurden, weil für die Bewältigung der 4596 zu analysierenden Zahlkörper der von Scholz und Taussky , sowie auch von Heider und Schmithals , benutzte Algorithmus zu wenig effizient gewesen wäre.

Die dritte Etage G₃³(K) eines 3-Klassenkörperturms, nämlich jedes imaginär-quadratischen Zahlkörpers K=Q(√d), d<0, mit elementarer 3-Klassengruppe Cl₃(K) vom Rang zwei und Artin-Muster AP=(κ,τ) mit Kapitulation κ=(2231) vom Typus E.9 und logarithmischen abelschen Quotienten-Invarianten τ=[32,21,21,21], wurde im Lauf der Geschichte erstmals 2012 von Boston, Bush und Mayer unzweifelhaft mit präziser Länge λ₃(K)=3 identifiziert, nachdem Scholz und Taussky, sowie Heider und Schmithals, die fehlerhafte Zweistufigkeit λ₃(K)=2 behauptet hatten. Entscheidend für den Beweis war die Tatsache, dass die Metabelianisierung M=⟨2187,302⟩, bzw. ⟨2187,306⟩, von G keine Schur σ-Gruppe ist, die 3-Turmgruppe G=⟨6561,620⟩, bzw. ⟨6561,624⟩, mit dl(G)=3 hingegen sehr wohl.

Weitere exakt dreistufige 3-Klassenkörpertürme der Typen E.6, E.14 und E.8 für imaginär-quadratische Körper sowie c.18 und c.21 für reell-quadratische Körper wurden im Jahr 2015 entdeckt.

Im gleichen Jahr wurden auch reell-quadratische Körper der Typen E.6, E.14, E.8 und E.9 auf die Länge ihres 3-Klassenkörperturms untersucht, wobei sich die Kuriosität herausstellte, dass die von Scholz und Taussky für den imaginären Fall fälschlich behauptete Länge λ₃(K)=2 im reellen Fall tatsächlich erlaubt ist und von der Dreistufigkeit λ₃(K)=3 durch streng deterministische Kriterien unterschieden werden kann.

Im Jahr 2017 schließlich gelang noch die Ermittlung der Feinstruktur der reell-quadratischen Zahlkörper K=Q(√d), d>0, mit elementarer 3-Klassengruppe Cl₃(K) vom Rang zwei und Artin-Muster AP=(κ,τ) mit vierfacher Totalkapitulation κ=(0000) vom Typus a.1 (und beliebigen abelschen Quotienten-Invarianten τ) unter Verwendung der sogenannten tiefen Verlagerungen.

Tabelle 1, bzw. 2, zeigt die essentiellen Invarianten des 3-Klassenkörperturmes F₃^∞(K) von allen imaginären, bzw. reellen, quadratischen Zahlkörpern K=Q(√d) mit der Minimaldiskriminante d für das jeweilige Artin-Muster AP=(κ,τ), falls die Ordnungen der beiden Galoisgruppen G₃²(K) und G₃^∞(K) den Maximalwert 6561 der SmallGroups Datenbank nicht überschreiten. Zahlreiche konkrete Beispiele mit 3-Turmgruppen G höherer logarithmischer Ordnung lo(G)>8 sind bekannt, sollen aber hier nicht explizit angeführt werden, weil die Bezeichnungsweise für diese Gruppen mit Relativ-Identitäten leider viel Platz in Anspruch nimmt und auf den ersten Blick unübersichtlich aussieht. Die Symbole ↑, bzw. ↑↑, hinter dem Typus heben erste, bzw. zweite, Anregungszustände gegenüber dem Grundzustand hervor, das bedeutet Varianten von τ bei festem Typus κ. Bei Gleichheit von G₃²(K) und G₃^∞(K) ist λ₃(K)=2, bei Verschiedenheit ist G₃^∞(K)=G₃³(K) und λ₃(K)=3.

Ein auffallender Unterschied in der Ordnung ord(G) der 3-Turmgruppe G und gelegentlich sogar in der Länge λ₃(K) des 3-Klassenkörperturms wurde zwischen imaginär-quadratischen Zahlkörpern mit negativen Diskriminanten d<0 und reell-quadratischen Zahlkörpern mit positiven Diskriminanten d>0 bei übereinstimmendem Artin-Muster AP=(κ,τ) festgestellt. So besitzen die Körper K mit Diskriminanten d=-3896 und d=957013 übereinstimmend den Typus H.4 mit κ=(4443), τ=[111,111,21,111], isomorphe zweite 3-Klassengruppen G₃²(K)≅⟨729,45⟩ und dieselbe Länge λ₃(K)=3, aber die Schur σ-Gruppe G₃^∞(K)≅⟨6561,606⟩ im imaginären Fall hat größere Ordnung als die 3-Turmgruppe G:=G₃^∞(K)≅⟨2187,273⟩ mit Relationenrang d₂(G)=3 im reellen Fall. Noch gravierender ist das unterschiedliche Verhalten bei den Körpern K mit Diskriminanten d=-15544 und d=7153097. Während der Typus E.6 mit κ=(1313), τ=[32,21,111,21] und die zweiten 3-Klassengruppen G₃²(K)≅⟨2187,288⟩ übereinstimmen, besteht der anspruchsvolle imaginäre Körper nach dem Satz von Koch und Venkov natürlich auf der Schur σ-Gruppe G₃^∞(K)≅⟨6561,616⟩ mit λ₃(K)=3 aber der genügsame reelle Körper ist schon mit der nicht-balancierten Gruppe G₃^∞(K)≅⟨2187,288⟩ mit λ₃(K)=2 zufrieden.

Ungelöste Probleme bei unendlichem p-Klassenkörperturm

Der p-Klassenkörperturm F_p^∞(K) eines Zahlkörpers K kann nur dann als bekannt betrachtet werden, wenn eine pro-p-Präsentation seiner Galois-Gruppe, also der p-Turmgruppe G_p^∞(K), mit expliziten Generatoren und Relationen vorliegt. Bei einem unendlichen Turm mit der Länge λ_p(K)=∞ könnte aus dieser pro-p-Präsentation ein analytischer Ausdruck n→Ord_n für das Wachstum der Ordnungen Ord_n:=ord(G_pⁿ(K)) der abzählbar unendlich vielen Stufen des Turmes in Abhängigkeit von n≥2 angegeben werden.

Leider ist man derzeit von der Lösung dieses hochinteressanten Problems noch meilenweit entfernt. Beispielsweise besitzt der imaginär-quadratische Zahlkörper K=Q(√d) mit Fundamentaldiskriminante d=-4447704 eine elementare 3-Klassengruppe vom Rang ρ₃(K)=3, also mit logarithmischen abelschen Typinvarianten [111], und somit nach der obenstehenden grundlegenden Regel 3 einen unendlichen 3-Klassenkörperturm mit λ₃(K)=∞. Aber die Werte der Funktion Ord_n sind für n≥3 völlig unbekannt und für n=2, also für die Ordnung der zweiten 3-Klassengruppe Gal(F₃²(K)/K), konnte unter enormem Aufwand an CPU-Zeit nur die untere Abschätzung Ord₂≥3¹⁷ berechnet werden.