Benutzer:Kryston/Giftschrank

Das Kuboktaeder (auch Kubooktaeder oder Kubo-Oktaeder) ist ein Polyeder mit 14 Seiten (sechs Quadrate und acht regelmäßige Dreiecke), zwölf identischen Ecken und 24 identischen Kanten.

Aufgrund seiner Regelmäßigkeit zählt das Kuboktaeder zu den 13 Archimedischen Körpern. Neben dem Ikosidodekaeder ist es der einzige konvexe quasireguläre Körper. Das Kuboktaeder ist der einzige Polyeder, bei dem der Eckenradius immer der Kantenlänge entspricht.

Sein Dualkörper ist das Rhombendodekaeder.

Mathematische Eigenschaften

Symmetrie

rotierender Kuboktaeder

Mit 12 Ecken, 14 Flächen und 24 Kanten wird der eulersche Polyedersatz erfüllt:

e+f-k=2

Hinsichtlich seiner symmetrischen Eigenschaften lässt sich das Kuboktaeder als flächenquasiregulärer konvexer Polyeder einordnen:^[1]

Alle Flächen sind regulär. Da das Kuboktaeder über Quadrate und Dreiecke verfügt, sind die Flächen aber nicht homogen, weshalb es auch keine Inkugel hat. Diese Bedingung wird nur von den Platonischen und den Catalanischen Körpern erfüllt.
Alle Kanten sind symmetrieäquivalent, da sich an jeder Kante genau ein Quadrat und ein Dreieck berühren. Abgesehen vom Ikosidodekaeder erfüllt kein anderer Archimedischer Körper diese Bedingung. Das Kuboktaeder besitzt eine Kantenkugel.
Alle Ecken sind symmetrieäquivalent, da an jeder Ecke jeweils zwei Dreiecke und zwei Quadrate aufeinandertreffen. Daher verfügt das Kuboktaeder über eine Umkugel.

Netz

Kuboktaeder-Netz

Das Netz des Kuboktaeders wird wie folgt konstruiert:^[2] Ausgehend von einem Quadrat werden an jeder seiner Kanten jeweils ein gleichseitiges Dreiecke angelegt. Zu jedem Dreieck kommt ein Quadrat und an dessen gegenüberliegende Seite wieder ein Dreieck. Abschließend wird noch ein einziges Quadrat an ein beliebiges Dreieck angelegt.

Orthogonale Projektion

Die vier Sechsecke im Kuboktaeder

Für den Kuboktaeder existieren vier spezielle orthogonale Projektionen: für beide Flächentypen, für die Kante und für die Ecke. Jeweils sechs Kanten des Kuboktaeders bilden die Kanten eines regelmäßigen Sechsecks. Insgesamt gibt es vier solcher Sechsecke.

Ecke	Kante	Fläche: Dreieck	Fläche: Quadrat

Kugelpackung

Kugelpackung des Kuboktaeders

Bei der zweidimensionalen Kusszahl werden an einen Kreis sechs gleichgroße Kreise angelegt. Auf der dreidimensionalen Ebene werden an eine Kugel zwölf gleichgroße Kugeln angelegt.

Die zweidimensionale Kusszahl findet sich beim Kubotaeder wieder: An einem seiner Sechsecke lassen sich sechs Kugeln um eine Ursprungskugel herum so anordnen, dass ihre Mittelpunkte den Ecken des Polyeders entsprechen. Nun lassen sich nochmal oberhalb und unterhalb je drei weitere Kugeln an die Ursprungskugel anlegen, wobei deren Mittelpunkte wieder auf die Ecken des Kuboktaeders fallen.

Das Kuboktaeder hat somit die dichteste Kugelpackung aller Körper.^[3] Dies gilt allerdings auch für den nicht regulären Antikuboktaeder, bei dem sich die sechs oben und unten angelegten Kugeln vertikal übereinander befinden und nicht versetzt wie beim Kuboktaeder.

Formeln

http://www.matematicasvisuales.com/english/html/history/leonardo/cuboctahedron.html

Größen eines Kuboktaeders mit Kantenlänge a
Volumen	$V={\frac {5}{3}}\,a^{3}{\sqrt {2}}$
Oberflächeninhalt	$O=2a^{2}(3+{\sqrt {3}})$
Umkugelradius	$\,R=a$
Kantenkugelradius	$r={\frac {a}{2}}{\sqrt {3}}$
Flächenwinkel ≈ 125,26° (Quadrat–Trigon)	$\cos \,\alpha =-{\frac {1}{\sqrt {3}}}$
3D-Kantenwinkel = 120°	$\cos \,\gamma =-{\frac {1}{2}}$
Eckenraumwinkel ≈ 0,7837 π	$\cos \,\Omega =-{\frac {7}{9}}$

Geometrische Verwandtschaft

Würfel und Oktaeder

Das Kuboktaeder lässt sich als Ableitung zweier Platonischer Körper ansehen: Durchdringen sich ein Würfel (Kubus) und ein Oktaeder, entsteht als Schnittmenge (Kern) ein Kuboktaeder.^[4] Sein Name ist als Kofferwort von diesen beiden Körpern abgeleitet. Die Flächen eines Würfels (sechs Quadrate) und eines Oktaeders (acht Dreiecke) bilden die insgesamt 14 Flächen des Kuboktaeders. Hieraus leitet sich auch die alte Bezeichnung Mittelkristall ab.^[5]

Durch Abstumpfung der Ecken lässt sich ein Kuboktaeder jeweils aus beiden Grundkörpern erzeugen: Stumpft man die Ecken eines Würfels bis zum Mittelpunkt seiner Kanten ab, verkleinern sich einerseits seine sechs Quadrate; andererseits bilden sich an den bisherigen Ecken acht Dreiecke. Durch Abstumpfung der Ecken eines Oktaeders bis zur Kantenmitte werden seine acht Dreicke stark verkleinert und die bisherigen Ecken zu sechs Quadraten.

Bei der Erzeugung eines Kuboktaeders durch Abstumpfung von Würfel oder Oktaeder entstehen zwei Zwischenformen: Werden beide Grundkörper nicht bis zur Kantenmitte, sondern nur teilweise abgestumpft, lassen sich die beiden Archimedischen Körper Hexaederstumpf beziehungsweise Oktaederstumpf erschaffen.


Würfel	Hexaederstumpf	Kuboktaeder	Oktaederstumpf	Oktaeder
→ → Abstumpfung → →			← ← Abstumpfung ← ←

Tetraeder

Auch aus einem weiteren Platonischen Körper lässt sich das Kuboktaeder ableiten: Wird ein Tetraeder entlang seiner sechs Kanten ausgedehnt, entstehen sechs Vierecke. An den bisherigen Ecken des Tetraeders bilden sich vier Dreiecke, zusätzlich zu den vier ursprünglich bestehenden. Führt man diesen Prozess weiter, bis die Vierecke quadratisch sind, erhält man einen Kuboktaeder. Alternativ kann dieser Vorgang als Abstumpfung der Kanten eines Tetraeders gedacht werden.


Tetraeder	Kuboktaeder
→ → Ausdehnung → →

Ikosaeder

Das Kuboktaeder ist auch selbst eine Ausgangsform für die Ableitung anderer Polyeder. Alle Platonischen und Archimedischen Körper lassen sich entweder aus Kuboktaeder, Ikosidodekaeder oder Tetratetraeder (Oktaeder) durch Verdrehung (Torsion) ableiten. Bei diesen drei Polyedern handelt es sich um die möglichen Durchdringungskörper der Platonischen Körper.

Durch Verdrehung eines Kuboktaeders lässt sich mit dem Ikosaeder ein Platonischer Körper herstellen:^[6] Die Dreiecke des Kuboktaeders bleiben dabei unverändert. Durch eine Verzerrung der Quadrate entstehen sechs Rhomben. Diese werden durch neue Kanten geteilt, so dass insgesamt zwölf regelmäßige Dreicke entstehen, zusätzlich zu den ursprünglichen acht des Kuboktaeders. Der neue Körper hat somit 20 Dreiecke und ist ein Ikosaeder.


Kuboktaeder	Ikosaeder
→ → Verdrehung → →

Kuboktaederstumpf

Das Kuboktaeder ist der einzige Archimedische Körper neben dem Ikosidodekaeder, das einen weiteren Körper dieser Gruppe durch Abstumpfung hervorbringt. Werden die Ecken eines Kuboktaeders abgestumpft, entstehen zwölf Quadrate; die vormaligen acht Dreiecke werden zu Sechsecken, die vormaligen sechs Quadrate zu Achtecken. Der so entstandene Archimedische Körper wird als Kuboktaederstumpf oder Großes Rhombenkuboktaeder bezeichnet.


Kuboktaeder	Kuboktaederstumpf
→ → Abstumpfung → →

Rhombendodekaeder


Rhombendodekaeder

Der zum Kuboktaeder duale Körper ist das Rhombendodekaeder. Dieses weist zwölf Flächen und 14 Ecken auf, also das umgekehrte Verhältnis wie beim Kuboktaeder. Wie bei allen Archimedischen Körpern ist der Dualkörper ein Catalanischer Körper. Während das Kuboktaeder die Schnittmenge bei der Durchdringung von Würfel und Oktaeder bildet, ist das Rhombendodekaeder dazu der Hüllkörper.

Stellare Kuboktaeder

Es existieren vier verschiedene Sternformen zum Kuboktaeder. Der erste stellare Körper ist dabei identisch mit der Durchdringung von Würfel und Oktaeder.


Kuboktaeder	Erster Stern	Zweiter Stern	Dritter Stern	Vierter Stern
→ → Erweiterung → →

Nicht-konvexe Polyeder

Zwei nicht-konvexe Körper teilen sich die Position der Kanten und Ecken mit dem Kuboktaeder: Beim Kubohemioktaeder bestehen nur die Quadrate, beim Oktahemioktaeder nur die Dreiecke. Die übrigen Flächen werden durch die vier Sechsecke innerhalb des Kuboktaeder eingenommen.^[7] Das Kuboktaeder ist die konvexe Hülle der beiden anderen Körper.^[8]


Kubohemioktaeder	Kuboktaeder	Oktahemioktaeder
← ← Entflächung → →

Johnsonkörper


Quadratpyramide	Dreieckskuppel

Wird ein Kuboktaeder anlang eines seiner Sechsecke durchschnitten, entstehen zwei Dreieckskuppeln, der Johnson-Körper J₃.^[4] Alternativ kann man sich das Kuboktaeder auch aus sechs Quadratpyramiden (J₁) und acht Tetraedern zusammengesetzt vorstellen.

http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/stellations-cuboctahedron.html
http://home.comcast.net/~tpgettys/stcuboct.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Compound_of_cube_and_octahedron
http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_Wenninger_polyhedron_models#Stellations_of_cuboctahedron
http://en.wikipedia.org/wiki/Truncated_cuboctahedron

Bezug zur physischen Welt

http://www.skjoldmus.de/Alltag-Gewichte.html

Chemie

Stark vergrößerte Darstellung eines Kuboktaeder-Kristalls

Natürliche Diamanten weisen meist eine oktaedrische kristalline Struktur auf. ^[9] Die kristalline Struktur synthetischer Diamanten basiert idealerweise auf dem Würfel oder dem Oktaeder – meist aber auf dem Kuboktaeder.^[10] Oft sind diese Körper nicht regelmäßig, sondern nur Annäherungsformen.

http://www.mineralienatlas.de/lexikon/index.php/Kubooktaeder
http://www.geodz.com/deu/d/Kubooktaeder
http://www.uni-siegen.de/fb8/ac/hjd/lehre/bachelor/vortraege_ss07/kryschan_zusammenfassungkristallstrukturen_korr.pdf

Unregelmäßiger Kuboktaeder aus Pyrit

Jitterbug-Transformation

In Buckminster Fullers sogenannter Jitterbug-Transformation ist das Kuboktaeder mit 24 Kanten das ausgedehnteste Stadium. Durch Verdrehen entsteht ein Ikosaeder, wobei sechs seiner 30 Kanten nur virtuell existieren. Nach weiterem Verdrehen stoßen die Kanten paarweise zusammen, wodurch sich ein Oktaeder ergibt. Durch ein nochmaliges Verdrehen entsteht ein Tetraeder, wobei je vier Kanten zusammengefallen sind. Dieser lässt sich schließlich in ein ebenes Dreieck zusammenklappen, bei dem je acht Kanten zusammenfallen.^[11]

Wird ein Flächen-Modell des Oktaeders der Jitterbug-Transformation unterworfen, so lässt sich dieses über das Ikosaeder zum noch größeren Kuboktaeder umwandeln.^[12] Auf der Forschungsausstellung Heureka in Zürich 1991 wurde am begehbaren Heureka-Polyeder diese Transformation gezeigt. Während der Veränderung wurden die Besucher im Inneren auf einer Hebebühne synchron mit auf- und abbewegt.

Heureka-Polyeder, zum Kuboktaeder geöffnetes Oktaeder

Jitterbug-Transformation zwischen Oktaeder und Kuboktaeder
Oktaeder →
→ Ikosaeder →
→ Kuboktaeder

Kunst

M.C. Escher

Einzelnachweise

↑ Renatus Ziegler, Platonische Körper, Dornach 2008, S. 94 f.
↑ Tiberiu Roman, Reguläre und halbreguläre Polyeder, Berlin 1968, S.65
↑ Kugelpackung des Kuboktaeders bei der TU Dresden
↑ ^a ^b Kuboktaeder auf Mathematische Basteleien
↑ Meyers Großes Konversations-Lexikon (1908)
↑ Ueli Wittorf: Einfache und doppelte Torsionspolyeder, in: Renatus Ziegler, Platonische Körper, Dornach 2008, S.32-45.
↑ Claus Michael Ringel über das Oktahemioktaeder
↑ MathWorld zum Oktahemioktaeder
↑ Kristalline Struktur von Diamanten auf 1-Cultured-Diamonds
↑ Amanda S. Barnard, The diamond formula: diamond synthesis – a gemmological perspective, Woburn 2000, S. 67 ff.
↑ Demonstration der Jitterbug-Transformation zwischen Dreieck und Kuboktaeder [1]
↑ Demonstration der Jitterbug-Transformation zwischen Oktaeder und Kuboktaeder [2]

Weblinks

Commons: Kuboktaeder – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

[ziegler-sym-1] Renatus Ziegler, Platonische Körper, Dornach 2008, S. 94 f.

[2] Tiberiu Roman, Reguläre und halbreguläre Polyeder, Berlin 1968, S.65

[3] Kugelpackung des Kuboktaeders bei der TU Dresden

[bastel-4] Kuboktaeder auf Mathematische Basteleien

[5] Meyers Großes Konversations-Lexikon (1908)

[6] Ueli Wittorf: Einfache und doppelte Torsionspolyeder, in: Renatus Ziegler, Platonische Körper, Dornach 2008, S.32-45.

[7] Claus Michael Ringel über das Oktahemioktaeder

[8] MathWorld zum Oktahemioktaeder

[9] Kristalline Struktur von Diamanten auf 1-Cultured-Diamonds

[10] Amanda S. Barnard, The diamond formula: diamond synthesis – a gemmological perspective, Woburn 2000, S. 67 ff.

[11] Demonstration der Jitterbug-Transformation zwischen Dreieck und Kuboktaeder [1]

[12] Demonstration der Jitterbug-Transformation zwischen Oktaeder und Kuboktaeder [2]

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