Benutzer:Lord Biro/Spielwiese

Anfangsbestand Bekterienkultur $B(t=0)=B_{0}=500$, wobei $t$ die Zeit in Stunden ist. Wachstum um 40% jede Stunde.

$B(t)=B_{0}\cdot 1.4^{t}=500\cdot 1.4^{t}$

Umkehrfunktion einer Exponentialfunktion ist der Logarithmus. Problemstellung:

Loese nach x auf: $a^{x}=b$.

Hier ist die Basis $a$ und du brauchst den Logarithmus zur Basis $a$. Damit laesst sich aber nicht schoen rechnen. Auf dem Taschenrechner findest du die beiden Logarithmen $\log$ zur Basis 10 und $\ln$ zur Basis $\mathrm {e}$. Zum Rechnen nimmt man im Allgemeinen immer die $\mathrm {e}$-Funktion, da sie viel einfacher in der Handhabung ist.

Nun kannst du jede Exponentialfunktion einer beliebigen Basis in eine zur Basis $\mathrm {e}$ umschreiben. $a^{x}=\left(\mathrm {e} ^{\ln a}\right)^{x}=\mathrm {e} ^{\ln(a)\cdot x}$, da ja $\ln a$ gerade das ist, mit wie viel ich $\mathrm {e}$ hochnehmen muss, damit $a$ heraus kommt ($\mathrm {e} ^{\ln a}=a$).

Beipielaufgabe: Nach wie vielen Stunden ist die Bekterienkultur auf das Zehnfache angewachsen?

$B(t)=500\cdot 1.4^{t}=500\cdot 10=5000\quad \vert :500$

$1.4^{t}=10\quad \vert \ln$

$\ln {(1.4^{t})}=t\cdot \ln 1.4=\ln 10$

$t={\frac {\ln 10}{\ln 1.4}}$

oder

$500\cdot 1.4^{t}=500\cdot \mathrm {e} ^{\ln {(1.4)}\cdot t}=5000\quad \vert :500$

$\Rightarrow \mathrm {e} ^{\ln {(1.4)}\cdot t}=10\quad \vert \ln$

$\Rightarrow \ln \left(\mathrm {e} ^{\ln {(1.4)}\cdot t}\right)=\ln {(1.4)}\cdot t=\ln 10$

$t={\frac {\ln 10}{\ln 1.4}}$

Zum Ableiten, falls du das brauchst:

Fuer $f(x)=a^{3\cdot x^{2}}$ ist die aeussere Funktion $a^{x}$ und die Innere $3\cdot x^{2}$. Bei der Ableitung ist nun:

$f^{\prime }(x)=\left(a^{3\cdot x^{2}}\right)^{\prime }=\left(\mathrm {e} ^{\ln {(a)}\cdot 3\cdot x^{2}}\right)^{\prime }=\left(\ln {(a)}\cdot 3\cdot x^{2}\right)^{\prime }\cdot \mathrm {e} ^{\ln {(a)}\cdot 3\cdot x^{2}}=6\ln {(a)}x\cdot \mathrm {e} ^{\ln {(a)}\cdot 3\cdot x^{2}}$

Hierbei muss man effektiv nur den Exponenten ableiten, da die $\mathrm {e}$-Funktion abgeleitet wieder sich selbst ergibt. Daher nimmt man die.

$\lim _{n\to \infty }P(X=k)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}\left({\frac {\lambda }{n}}\right)^{k}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n-k}$

$=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\right)\left({\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{n^{k}}}\right)\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{-k}$

$={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\cdot \lim _{n\to \infty }\underbrace {\left({\frac {n}{n}}\cdot {\frac {n-1}{n}}\cdot {\frac {n-2}{n}}\cdots {\frac {n-k+1}{n}}\right)} _{\to 1}\underbrace {\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n}} _{\to e^{-\lambda }}\underbrace {\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{-k}} _{\to 1}$

$={\frac {\lambda ^{k}\mathrm {e} ^{-\lambda }}{k!}}.$