Benutzer:Malte Schierholz/Mittelwert

Definitionen

Name	Formel
Modus	Ausprägung mit höchster Häufigkeit
Median	$x_{\mathrm {med} }={\begin{cases}x_{({\frac {n+1}{2}})}&n{\text{ ungerade}}\\{\frac {1}{2}}\left(x_{({\frac {n}{2}})}+x_{({{\frac {n}{2}}+1})}\right)&n{\text{ gerade.}}\end{cases}}$
Arithmetisches Mittel	${\bar {x}}_{\mathrm {arithm} }={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}$
Geometrisches Mittel	${\bar {x}}_{\mathrm {geom} }={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}}}={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}}}$
Harmonisches Mittel	${\bar {x}}_{\mathrm {harm} }={\frac {n}{\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}$
Quadratisches Mittel	$\mathrm {Q} ={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}^{2}}}}={\sqrt {{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}} \over n}}$

Beispiele

Urliste	Wert
$x_{(1)}$	2 (A)
$x_{(2)}$	2 (A)
$x_{(3)}$	2 (A)
$x_{(4)}$	3 (B)
$x_{(5)}$	3 (B)
$x_{(6)}$	4 (C)
$x_{(7)}$	5 (D)

Säulendiagramm zu den Beispielen

Im Folgenden soll beispielhaft an den sieben rechts angegebenen Ausprägungen gezeigt werden, wo welche Definition des Mittelwerts sinnvoll ist.

Der Modus ist bereits in der Nominalskala sinnvoll, in der einzelne Merkmale nicht geordnet werden können. Sind etwa von sieben befragten Personen drei katholisch (${\widehat {=}}$ A), zwei evangelisch (${\widehat {=}}$ B), einer muslimisch (${\widehat {=}}$ C) und einer Hindu (${\widehat {=}}$ D), so liegt der Modus bei A, denn dies kommt am häufigsten vor.

Für den Median ist eine Ordinalskala Vorraussetzung, in der die Merkmale geordnet werden können. Auf die Frage nach der Qualität des Essens eines Restaurants antworten beispielsweise drei Kunden mit "sehr gut" (${\widehat {=}}$ A), zwei mit "gut" (${\widehat {=}}$ B) sowie je einer mit "mittel" und "schlecht" (${\widehat {=}}$ C und D). Nach Ordnen der Daten wie in der Liste rechts erkennt man, dass die mittlere Beobachtung bei $x_{(4)}$ liegt. Der Median ist also B.

Das arithmetische Mittel wird beispielsweise zum Berechnen der Durchschnittsgeschwindigkeit genutzt: Läuft eine Schildkröte erst drei Meter pro Stunde, dann drei Stunden lang je zwei Meter und beschleunigt für jeweils eine Stunde nochmals auf drei, vier und fünf Meter pro Stunde, so ergibt sich als arithmetisches Mittel:

${\bar {x}}_{\mathrm {arithm} }={\frac {3+2+2+2+3+4+5}{7}}={\frac {21\ \mathrm {m} }{7\ \mathrm {h} }}=3\ \mathrm {m/h} .$

Auch das harmonische Mittel kann zur Berechnung einer durchschnittlichen Geschwindigkeit sinnvoll sein, wenn nicht stündlich sondern nach Strecke gemessen wird: Die Schildkröte laufe den ersten Meter mit drei Metern pro Stunde, weitere drei Meter mit jeweils 2 m/h und beschleunigt auf den letzten drei Metern nochmals auf jeweils drei, vier und fünf m/h. Die Schildkröte braucht somit 157/60 Stunden für sieben Meter, denn

${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}={\frac {157}{60}}=\sum \limits _{i=1}^{7}{\frac {1}{x_{i}}}.$

Daraus ergibt sich dann die Durchschnittsgeschwindigkeit von 2,68 Metern pro Stunde.

${\bar {x}}_{\mathrm {harm} }={\frac {n}{\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}={\frac {7}{\frac {157}{60}}}\approx 2,68\mathrm {m/h} .$

Mit dem geometrischen Mittel errechnet man den mittleren Wachstumsfaktor. Eine Bakterienkultur wachse beispielsweise am ersten Tag um das Fünffache, am zweiten um das Vierfache, dann zweimal um das Dreifache und die letzten drei Tage verdoppelt sie sich täglich. Der Bestand nach dem siebten Tag errechnet sich also durch $Anfangsbestand\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 3\cdot 2\cdot 2\cdot 2=Endbestand.$ Alternativ kann mit dem geometrischen Mittel der Endbestand ermittelt werden, denn

${\bar {x}}_{\mathrm {geom} }={\sqrt[{7}]{5\cdot 4\cdot 3\cdot 3\cdot 2\cdot 2\cdot 2}}={\sqrt[{7}]{1440}}\approx 2,83$

und somit ist

$Anfangsbestand\cdot {\bar {x}}_{\mathrm {geom} }^{7}=Endbestand.$

Eine tägliches Wachstum der Bakterienkultur um das 2,83-fache hätte also nach sieben Tagen zum selben Ergebnis geführt.