Ergänzende Beispiele

Bearbeiten

Anwendungsbeispiel für ein einfaches lineares Modell: Baumtomographie

Bearbeiten

Ein Baumdoktor möchte einen Blick in den Stamm eines Baumes werfen, ohne diesen aufzusägen. Zum Glück gibt es die Computertomographie auch für Bäume (siehe z.B. diesen Artikel: Teil 1, Teil 2). Dazu verwendet er einen Röntgenstrahl und eine Messonde, kann damit einen Strahl in das Gebiet mit dem Baumstamm feuern und hinterher messen, wieviel Strahlung aus dem Stamm austritt.

 
Tomographie eines Baumstamms

Annahme: Das Material absorbiert derart, dass der Intensitätsverlust linear zur Eindringtiefe ist:

 

es ergibt sich eine exponentiell abnehmende Intensität. Für das 2d Bild unterteilen wir das Gebiet in kleine Quadrate

 

und unser Bild ist dann gegeben durch die Absorptionskoeffizienten

 

auf den Quadraten. Da dichteres Material in der Regel mehr absorbiert, erhält man in etwa ein Bild der Materialdichte. (Es soll ja ein einfaches Beispiel bleiben) Jeder Strahl   durchläuft ein oder mehrere der Quadrate und daher gilt für die Gesamtintensität der Messung

 

wobei der Index   die Indices der vom Strahl geschnittenen Quadrate bezeichnet und   die Länge des Stahls durch das entsprechende Quadrat angibt. Logarithmiert man, führt somit jeder Strahl zu einer linearen Gleichung

 .

Der Wert   ergibt sich aus der bekannten ursprünglichen Intensität   und der gemessenen Intensität   des Strahls, die Längen   aus dem Strahlverlauf und der Quadrateinteilung. Man führt mehr Messungen durch, als es unbekannte Koeffizienten   gibt, erhält das überstimmte lineare Gleichungsystem

 

und kann durch Ausgleichsrechnung die Unbekannten und damit die Intensitätsverteilung, das Bild, rekonstruieren.