Benutzer:Mathze/Mittlere Absolute Abweichung

Die mittlere absolute Abweichung (englisch average absolute deviation^[1]) ist ein Streuungsmaß in der deskriptiven Statistik und gibt an, wie stark die Stichprobe um ihren Mittelpunkt streut. Der Mittelpunkt kann dabei das arithmetisches Mittel oder der Median sein.^[2] Im Gegensatz zur empirischen Varianz wird bei der mittleren absoluten Abweichung der Abstand zum betrachtten Mittelpunkt nicht quadratisch gewichtet, sondern nur dem Betrage nach. Große Abweichungen vom Mittelwert fallen daher nicht so stark ins Gewicht.

Mittlere absolute Abweichung vom arithmetischen Mittel

Definition

Für eine Stichprobe $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ mit dem arithmetische Mittel ${\overline {x}}$ ist die mittlere absolute Abweichung vom arithmetischen Mittel (englisch mean absolute deviation around the mean) definiert als^[3]

d_{\overline {x}}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-{\overline {x}}|

.

Beispiel

Für die Stichprobe $10,9,15,13,16$ beträgt das arithmetische Mittel

{\overline {x}}={\frac {1}{5}}(10+9+15+13+16)={\frac {63}{5}}=12{,}6

.

Damit ergibt sich die mittlere absolute Abweichung als

{\begin{aligned}d_{\overline {x}}&={\frac {1}{5}}\left(|10-12{,}6|+|9-12{,}6|+|15-12{,}6|+|13-12{,}6|+|16-12{,}6|\right)\\&={\frac {1}{5}}\left(|-2{,}6|+|-3{,}6|+|2{,}4|+|0{,}4|+|3{,}4|\right)\\&={\frac {1}{5}}\left(2{,}6+3{,}6+2{,}4+0{,}4+3{,}4\right)\\&=2{,}48.\end{aligned}}

Mittlere absolute Abweichung vom Median

Definition

Für eine Stichprobe $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ mit Median ${\tilde {x}}$ gibt es zwei Definitionen für die mittlere absolute Abweichung vom Median:

Entweder ist sie definiert als arithmetisches Mittel der absoluten Abweichungen vom Median (englisch mean absolute deviation around the median):^[4]^[5]^[6]

{\tilde {d}}_{0{,}5}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-{\tilde {x}}|

oder als Median der absoluten Abweichungen vom Median (auch: Median-Abweichung, englisch median absolute deviation around the median):^[7]^[8]

{\tilde {d}}_{med}={\text{median}}(|x_{i}-{\tilde {x}}|)

.

Beispiel

Für die Stichprobe $10,9,15,13,16$ vom obigen Beispiel beträgt der Median ${\tilde {x}}=13$ .

Daraus folgt

{\begin{aligned}{\tilde {d}}_{0{,}5}&={\frac {1}{5}}\left(|10-13|+|9-13|+|13-13|+|15-13|+|16-13|\right)\\&={\frac {1}{5}}\left(|-3|+|-4|+0+|2|+|3|\right)\\&={\frac {1}{5}}(3+4+2+3)\\&=2{,}4.\end{aligned}}

{\begin{aligned}{\tilde {d}}_{\text{med}}&={\text{median}}\left(|10-13|,|9-13|,|13-13|,|15-13|,|16-13|\right)\\&={\text{median}}\left(3,4,0,2,3\right)\\&=3.\end{aligned}}

Insbesondere unterscheiden sich die beiden Werte für die mittlere absolute Abweichung vom Median beinahe immer von der mittleren absoluten Abweichung vom arithmetischen Mittel.

Eigenschaften

Betrachtet man die mittlere absolute Abweichung von einem beliebigen Wert $m$ , also

A(m)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-m|

,

so ist $A(m)$ minimal, wenn $m$ der Median ist.^[9] Ein analoges Resultat gilt auch für die mittlere quadratische Abweichung von einem Wert $m$ : sie wird genau dann minimal, wenn $m$ das arithmetische Mittel ist. In diesem Sinne ist die mittlere absolute Abweichung ein natürliches Streumaß um den Median, ebenso wie die mittlere quadratische Abweichung ein natürliches Streumaß um das arithmetische Mittel ist.

Die mittlere absolute Abweichung vom Median ist ein robustes Streuungsmaß, es ist also deutlich unempfindlicher gegenüber Ausreißern als etwa die Standardabweichung. Dies liegt an der Verwendung des robusten Medians. Besonders relevant ist dies, wenn eine Regel für das Entfernen von Ausreißern aus einem Datensatz gefunden werden soll: Das übliche Verfahren, alle Werte, die mehr als drei Standardabweichungen vom arithmetischen Mittel entfernt sind, zu streichen, ist insofern problematisch, als dass Standardabweichung und Mittel selbst durch Ausreißer verzerrt sein könnten. Ein deutlich unempfindlicheres Verfahren wäre, alle Werte zu streichen, die mehr als das k-fache der Median-Abweichung vom Median abweichen, wobei k ein von der Wahrscheinlichkeitsverteilung abhängiger Faktor ist.^[10]

Siehe auch

Mittlere quadratische Abweichung
Varianz (= Mittlere quadratische Abweichung vom arithmetischen Mittel)
empirische Varianz

Einzelnachweise

↑ Eric W. Weisstein: Average Absolute Deviation. In: MathWorld (englisch).
↑ Reinhold Kosfeld, Hans Friedrich Eckey, Matthias Türck: Deskriptive Statistik. 6. Auflage. Springer Gabler, Wiesbaden 2016, ISBN 978-3-658-13639-0, S. 117.
↑ Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger. Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls. 13. Auflage. Springer Spektrum, Berlin 2021, ISBN 978-3-662-63839-2, S. 32, doi:10.1007/978-3-662-63840-8.
↑ Helge Toutenburg, Christian Heumann: Deskriptive Statistik. Eine Einführung in Methoden und Anwendungen mit R und SPSS. 6. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-77787-8, S. 74.
↑ Thomas Cleff: Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse. Eine computergestützte Einführung mit Excel, SPSS und STATA. 3. Auflage. Springer Gabler, Wiesbaden 2015, ISBN 978-3-8349-4747-5, S. 55.
↑ Karl Mosler, Friedrich Schmid: Beschreibende Statistik und Wirtschaftsstatistik. 3. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 2006, ISBN 978-3-540-37459-6, S. 46.
↑ Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger. Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls. 10. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-03076-6, S. 32, doi:10.1007/978-3-658-03077-3.
↑ Peter J. Huber, Elvezio M. Ronchetti: Robust Statistics. 2. Auflage. Wiley, Hoboken 2009, ISBN 978-0-470-12990-6, S. 106.
↑ Ehrhard Behrends: Elementare Stochastik. Ein Lernbuch – von Studierenden mitentwickelt. Springer Spektrum, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-8348-1939-0, S. 275, doi:10.1007/978-3-8348-2331-1.
↑ Leys, C., et al: Detecting outliers: Do not use standard deviation around the mean, use absolute deviation around the median. In: Journal of Experimental Social Psychology. Band 49, Nr. 4, 2013, S. 764–766, doi:10.1016/j.jesp.2013.03.013 (englisch, ulb.ac.be [PDF]).

[Wolframaad-1] Eric W. Weisstein: Average Absolute Deviation. In: MathWorld (englisch).

[2] Reinhold Kosfeld, Hans Friedrich Eckey, Matthias Türck: Deskriptive Statistik. 6. Auflage. Springer Gabler, Wiesbaden 2016, ISBN 978-3-658-13639-0, S. 117.

[Henze32-3] Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger. Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls. 13. Auflage. Springer Spektrum, Berlin 2021, ISBN 978-3-662-63839-2, S. 32, doi:10.1007/978-3-662-63840-8.

[4] Helge Toutenburg, Christian Heumann: Deskriptive Statistik. Eine Einführung in Methoden und Anwendungen mit R und SPSS. 6. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-77787-8, S. 74.

[5] Thomas Cleff: Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse. Eine computergestützte Einführung mit Excel, SPSS und STATA. 3. Auflage. Springer Gabler, Wiesbaden 2015, ISBN 978-3-8349-4747-5, S. 55.

[6] Karl Mosler, Friedrich Schmid: Beschreibende Statistik und Wirtschaftsstatistik. 3. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 2006, ISBN 978-3-540-37459-6, S. 46.

[7] Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger. Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls. 10. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-03076-6, S. 32, doi:10.1007/978-3-658-03077-3.

[8] Peter J. Huber, Elvezio M. Ronchetti: Robust Statistics. 2. Auflage. Wiley, Hoboken 2009, ISBN 978-0-470-12990-6, S. 106.

[Behrends275-9] Ehrhard Behrends: Elementare Stochastik. Ein Lernbuch – von Studierenden mitentwickelt. Springer Spektrum, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-8348-1939-0, S. 275, doi:10.1007/978-3-8348-2331-1.

[10] Leys, C., et al: Detecting outliers: Do not use standard deviation around the mean, use absolute deviation around the median. In: Journal of Experimental Social Psychology. Band 49, Nr. 4, 2013, S. 764–766, doi:10.1016/j.jesp.2013.03.013 (englisch, ulb.ac.be [PDF]).

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