Die Schwingungsdauer des physikalischen Pendels ergibt sich zu
wobei die Kreisfrequenz, das Trägheitsmoment bzgl. des Aufhängepunktes, die Masse des Körpers, die Schwerebeschleunigung und der Abstand vom Aufhängungspunkt zum Massenmittelpunkt ist. Dabei ist ein Maß für das Moment, das die Schwerkraft auf das ausgelenkte Pendel ausübt, ist also die schwere Masse des Pendelkörpers.
Einfaches Pendel
BearbeitenPendel mit kompakter Pendelmasse und einem Stab/Faden, dessen Masse und Volumen klein sind.
Wenn der Pendelkörper nicht zu ausgedehnt ist, kann man sein Trägheitsmoment bezüglich dem Pendelaufhängungspunkt angenähert zu berechnen, wobei seine träge Masse bezeichnet (normalerweise gleich gemäß Äquivalenzprinzip):
Betrachtet man auch die Luft mit der Dichte , in der das Pendel schwingt, und sind die Dichte und das Volumen des Pendelkörpers, ergibt sich die effektive schwere Masse wegen des Auftriebs des Pendelkörpers zu . Auch die träge Masse ändert sich, da der sich bewegende Pendelkörper Luft verdrängt und in Bewegung setzt. Seine träge Masse erhöht sich dadurch auf , wobei ein Korrekturfaktor für die Ausbildung der Luftströmung um den Pendelkörper ist.
- .
Mit
- bei 20°C,
- für Messing
und mit ergibt sich für eine Erhöhung des Luftdrucks um 1 mbar (und damit um 0,1%):
- .
Die Periode verlängert sich um , was einer Abweichung von 0,012 s/Tag entspricht. Eine Temperaturerhöhung von 20 auf 21°C bewirkt eine Verminderung der Luftdichte um 1/293 = 0,34% und somit eine Beschleunigung von oder 0,041 s/Tag (ohne Wärmeausdehnung des Pendels).
Zum Vergleich: Beträgt die Wärmeausdehnung des Pendelwerkstoffs 4·10-6/K, dann bewirkt eine Temperaturerhöhung um 1 K eine Verlangsamung um 2·10-6 oder 0,173 s/Tag (wobei der Einfluss der sich ebenfalls ändernden Luftdichte nicht berücksichtigt ist). Um den Temperaturfehler auszugleichen, müsste das Pendel eine Wärmeausdehnung von etwa 1·10-6/K aufweisen, damit sich die Effekte gegenseitig kompensieren.
Mehrere Pendelkörper
BearbeitenStabpendel
BearbeitenPendel aus einem Stab der Länge , Querschnitt und Dichte , der an einem Ende aufgehängt ist.
In Luft der Dichte :
Pendel mit Stange
BearbeitenEin Sekundenpendel bestehe aus einer Stange mit Radius , Länge , Dichte und Wärmeausdehnung sowie einer Linse mit Volumen , Dichte , Trägheitsmoment und Wärmeausdehnung , die in ihrem Schwerpunkt am unteren Ende der Stange angebracht ist.
- Masse Stange:
- Masse Linse:
Mit Wärmedehnung bei Erhöhung der Temperatur von 293 auf 294 K:
Die Periode soll unabhängig von der Temperatur sein, also :
Mehrere Pendelkörper
BearbeitenMit mehreren kompakten Pendelkörpern gleicher Dichte , deren Schwerpunkte in Ruhelage auf einer Vertikalen durch den Aufhängungspunkt liegen, ist
- ,
- ,
- .
Betrachten wir ein Pendel mit zwei gleichen kompakten Pendelkörpern auf gleicher Höhe unterhalb des Aufhängungspunkts und um seitlich versetzt, symmetrisch zur Aufhängung, jeweils mit Dichte . Die Körper sind an einem Balken aus Material B angebracht, der über eine vertikale Stange der Länge aus Material S mit dem Aufhängungspunkt verbunden ist. Die Masse und elastische Verformung von Balken und Stange wird vernachlässigt. Mit dieser Anordnung ergibt sich:
- .
Mit den Ausdehnungskoeffizienten ist
- ,
- .
soll von der Temperatur unabhängig sein, also:
mit
- .
Nach Einsetzen, Umformen und Entfernen von Summanden, die etc. enthalten, ergibt das
- .
Sonderfälle: