Benutzer:Meier99/Beispiel

Orientierbarkeit

Eine weitere wesentliche Eigenschaft von berandeten oder unberandeten Mannigfaltigkeiten betrifft die Orientierbarkeit bzw. Nicht-Orientierbarkeit der Mannigfaltigkeit. Sie kann ebenfalls „kartenweise“ definiert werden (wobei die Verträglichkeit von selbst erfüllt ist).

Wie die folgenden Beispiele zeigen, kommen alle vier Kombinationen „mit bzw. ohne Rand sowie mit bzw. ohne Orientierung“ vor, obwohl in den Anwendungen vor allem der Fall berandeter und orientierter Mannigfaltigkeiten wichtig ist.

Beispiele

Ein einfaches Beispiel einer berandeten und orientierbaren Mannigfaltigkeit Mannigfaltigkeit betrifft ein (abgeschlossenes) Rechteck wie in nebenstehnder Skizze.

Eine orientierbare Mannigfaltigkeit mit Rand: ein Rechteck mit Länge a und Breite b (sowie der Diagonale d)

Der Rand besteht aus den Rechteckseiten; die zwei Orientierungen sind „entgegen dem Uhrzeigersinn“ (+) bzw. „im Uhrzeigersinn“ (-). Im ersten Fall wird etwa der folgende Umlauf betrachtet: Von A nach B und weiter nach C und D, von dort zurück nach A; alles entgegen dem Uhrzeigersinn.

Im $\mathbb {R} ^{3}$ kann man das Rechteck aufschneiden und zu einer Art Zylindermantel zusammenrollen, etwa indem man die Punkte A und B sowie D und C zusammenklebt. Das gibt nichts wesentlich Neues. Wenn man dagegen die Punkte A und C sowie D und B zusammenklebt, was nach einer Art „Verdrillung“ der Schmalseiten möglich ist, und wenn das „Zusammenkleben“ nahtlos erfolgt, entsteht eine nicht orientierbare zweidimensionale Mannigfaltigkeit mit Rand, das sog. Möbiussche Band.

Eine nicht-orientierbare Mannigfaltigkeit mit Rand: Das Möbius'sche Band

Die Randfläche der Mannigfaltigkeit entspricht einer Art „8“, d.h. mit der charakteristischen Überkreuzung in der Mitte. Zunächst wird z. B. entgegen dem Uhrzeigersinn der untere Halbkreis der 8 durchlaufen (=von A nach B), dann folgt die Überkreuzung (die entspricht dem Überkleben mit Verdrillung); nach dem Überkreuzen folgt der obere Kreis der Acht, durchlaufen im anderen Drehsinn, d.h. nicht von C nach D, sondern von D nach C .

Auf analoge Weise erhält man durch geeignetes Zusammenkleben in Räumen mit wenigstens drei Dimensionen eine nicht-orientierbare Mannigfaltigkeit ganz ohne Rand, analog zur Oberfläche einer Kugel· die aber orientierbar ist: Die nichtorientierbare Mannigfaltigkeit ohne Rand ist die sog. Kleinsche Flasche.

Eine nicht-orientierbare Mannigfaltigkeit ganz ohne Rand: Die sog. Kleinsche Flasche, eingebettet in den dreidimensionalen Raum.