Benutzer:Michael Lenz/Frequenzgang

Allgemeine Bedeutung und Beispiele

In seiner allgemeinen Bedeutung beschreibt der Begriff Frequenzgang die Abhängigkeit einer reellen oder komplexen Kenngröße von der Frequenz ^[1] ^[2] ^[3] ^[4] ^[5] ^[6] ^[7] ^[8] ^[9]

Bezeichnung	Bedeutung	Beispiele
Frequenzgang einer Schwingung bzw. komplexen Netzwerkgröße	Abhängigkeit des zugehörigen Netzwerkzeigers von der Frequenz	Frequenzgang des Stromes in einem Serienschwingkreis
Frequenzgang eines Zeitsignals	Frequenzspektrum des Signals	Frequenzgang des Spannungsrauschens an einem ohmschen Widerstand
Frequenzgang allgemeiner Größen	Abhängigkeit der Größe von einer Frequenz	Frequenzgang $T_{60}(f)$ der Nachhallzeit eines Raumes, Frequenzgang des Widerstandes eines Bauelements, Frequenzgang der Dämpfung eines Übertragungssystems, Frequenzgang der Wellenparameter einer Übertragungsleitung ^[10]
Frequenzgang eines Übertragungssystems bzw. Vierpols	Übertragungsfunktion $H(\omega )={\frac {Y(\omega )}{X(\omega )}}$ des Übertragungssystems in Bezug auf die Fouriertransformation	Frequenzgang eines Lautsprechers

Frequenzgang von Schwingungen/Zeigern

In der Netzwerktheorie ist es üblich, sinusförmige Schwingungen durch sogenannte ruhende Zeiger darzustellen. Ein ruhender Zeiger ist eine komplexe Zahl der Form ${\underline {Z}}=|Z|\cdot e^{j\varphi }$ , die durch den Betrag $|Z|$ und den zugehörigen Phasenwinkel $\varphi$ beschrieben werden kann.

Ein ruhender Zeiger steht für eine cosinusförmige Schwingung der Form $z(t)=\Re \left({\sqrt {2}}\cdot {{\underline {Z}}\cdot e^{j\omega t}}\right)$ (Effektivwertzeiger) bzw. $z(t)=\Re \left({{\underline {Z}}\cdot e^{j\omega t}}\right)$ (Amplitudenzeiger, Spitzenwertzeiger), wobei das Symbol $\Re$ für den Realteil der komplexen Zahl steht.

Im Zusammenhang mit Zeigern unterscheidet man im technischen Sprachgebrauch nicht immer deutlich zwischen dem physikalischen Vorgang und der zugehörigen mathematischen Beschreibung. Häufig spricht man kurz von der Spannung ${\underline {U}}$ anstatt korrekt vom Spannungszeiger ${\underline {U}}$ bzw. von der durch die mathematische Gleichung $u(t)=\Re \left({\sqrt {2}}\cdot {{\underline {U}}\cdot e^{j\omega t}}\right)$ beschriebenen physikalischen Schwingung.

Da sich die Amplitude und die Phase der dem Zeiger zugrundeliegenden Schwingung mit der Schwingfrequenz $f$ ändern kann, ist es nützlich, die Frequenzabhängigkeit durch eine mathematische Funktion darzustellen. Die Abhängigkeit ${\underline {Z}}(\omega )$ eines Zeigers von der Frequenz $f$ oder der Kreisfrequenz $\omega =2\pi f$ heißt in diesem Zusammenhang Frequenzgang des Zeigers bzw. Frequenzgang der zum Zeiger ${\underline {Z}}$ zugehörigen Schwingung.

Typische Beispiele für die Frequenzgänge von Zeigern und den zugehörigen Schwingungen sind die Frequenzgänge von Strömen^[11], Spannungen^[12], Drehwinkeln und Kräften^[13].

Frequenzgang von Signalen (Signalspektrum)

Um zu kennzeichnen, dass eine physikalische Größe Träger von Information ist, bezeichnet man sie als Signal ^[14]. Zur Beschreibung von Signalen, und insbesondere zur Beschreibung ihrer Übertragung in einem linearen zeitinvarianten Übertragungssystem, ist es nützlich, die Signale nicht als Funktionen der Zeit anzugeben, sondern sie im Bildbereich einer Integraltransformation darzustellen. Im Bildbereich der kontinuierlichen Fouriertransformation beschreibt man das von der Zeit t abhängige Signal $x(t)$ als eine Überlagerung (Synthese) unendlich vieler Aufbaufunktionen der Form ${\underline {X}}(\omega )\cdot e^{j\omega t}$ . Die komplexe Exponentialfunktion $e^{j\omega t}=\cos(\omega t)+j\sin(\omega t)$ beschreibt einen sich in der komplexen Ebene drehenden Einheitszeiger, wobei der Realteil und der Imaginärteil eine cosinus- bzw. sinusförmige Schwingung beschreibt. Die Synthese der Signale aus den Exponentialschwingungen beschreibt die Gleichung für die inverse kontinuierliche Fouriertransformation ^[15]:

x(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\underline {X}}(\omega ){\textrm {e}}^{j\omega t}d\omega

(Der in der Transformationsgleichung enthaltene Faktor $1/2\pi$ wird in der Literatur nicht einheitlich verwendet. Je nach Konvention des Fachbuchautors wird er entweder gleichmäßig als Faktor $1/{\sqrt {2\pi }}$ auf die Gleichungen für Hin- und Rücktransformation, nur auf die Hin-Transformation oder wie im vorliegenden Text nur auf die Rücktransformation aufgeteilt.) Die Aufbaufunktionen ${\underline {X}}(\omega )\cdot e^{j\omega t}$ werden durch ihre komplexe Amplitude ${\underline {X}}(\omega )$ und die Kreisfrequenz $\omega =2\pi f$ gekennzeichnet.

Im Zusammenhang mit der Darstellung von Signalen im Bildbereich der kontinuierlichen Fouriertransformation bezeichnet man die von der Kreisfrequenz $\omega =2\pi f$ abhängige Größe ${\underline {X}}(\omega )$ als Frequenzspektrum oder Frequenzgang des Signals ^[16].

Die Bezeichnung Frequenzgang des Signals findet sowohl in der Regelungstechnik, als auch in anderen technischen Disziplinen wie beispielsweise der Akustik Verwendung^[17], beispielsweise im Zusammenhang mit den Eigenschaften von Rauschsignalen ^[18] ^[19] ^[20]. Im Zusammenhang mit der Beschreibung der Übertragungseigenschaften eines Systems kann sich eine Verwechslungsgefahr zwischen dem Frequenzgang der Eingangs- bzw. Ausgangssignale eines Systems (d. h. den jeweiligen Signalspektren) und dem Frequenzgang des Übertragungssystems (d. h. der Übertragungsfunktion) ergeben.

Frequenzgang weiterer abgeleiteter physikalischer Größen

Der Begriff Frequenzgang wird auch für physikalische Größen verwendet, die nicht Eingangs- oder Ausgangsgrößen eines linearen zeitinvarianten Netzwerkes bzw. Verhältnisse aus diesen sind. Beispiele sind

Beträge und Phasen von Netzwerkgrößen und daraus abgeleiteten Größen wie Widerständen ^[21] ^[22] oder Dämpfungen^[23]
der Frequenzgang der Nachhallzeit eines Raumes ^[24] ^[25]
der Frequenzgang der Temperatur eines elektrischen Bauelements (z. B. Transformator, Rechenprozessor)
der Frequenzgang des Schlupfes einer Asynchronmaschine (Heylandkreis)

Frequenzgang eines LZI-Systems

In Systemen zur Energie- oder Signalübertragung und in der Regelungstechnik wird der Begriff „Frequenzgang“ verwendet, um die Übertragungsfunktion des Systems im Bildbereich der Fouriertransformation zu bezeichnen.

Je nach der Sprachgewohnheit des Autors wird dabei der Frequenzgang als eine Eigenschaft des Systems oder als eine Eigenschaft der aus den Spektren von Eingangs- und Ausgangssignalen abgeleiteten Übertragungsfaktoren bezeichnet.

So bezeichnen beispielsweise die Formulierungen

Frequenzgang des Systems
Amplitude/Betrag des Frequenzgangs ^[26]
Phase des Frequenzgangs

Eigenschaften des Übertragungssystems, während die ähnlichen Formulierungen

Frequenzgang des Übertragungsfaktors ^[27]
Frequenzgang der Amplitude^[28]
Frequenzgang der Phase/Phasenverschiebung

Eigenschaften der aus den Signalen abgeleiteten Größen bezeichnen.

Eine detaillierter Beschreibung des Frequenzgangs von Übertragungssystemen enthält der Artikel Frequenzgang (System).

Einzelnachweise

↑ Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus AG: Die Brockhaus Enzyklopädie-Online, Eintrag abgerufen am 22. Juni 2010. Der einleitende Text definiert den Begriff Frequenzgang folgendermaßen: Physik, Technik: allgemein der Verlauf einer physikalischen Größe als Funktion der Frequenz (der Kreisfrequenz ω), auch Bezeichnung für diese Funktion selbst; im engeren Sinn Bezeichnung für eine komplexe Funktion, die das Zeitverhalten zeitinvarianter linearer Übertragungsglieder der Nachrichten- oder Regelungstechnik kennzeichnet; Internet-Link
↑ Die Zeit - Das Lexikon (in 20 Bänden), Bibliographisches Institut, 2005, Mannheim, ISBN-13: 978-3411175802, Band 3, Seite 149. Der Eintrag zu "Frequenzgang" lautet: Frequenzgang, allg. der Verlauf einer physikal. Größe als Funktion der Frequenz, auch Bez. für diese Funktion selbst; i. e. S. Frequenzabhängigkeit des Ausgangssignals eines linearen Übertragungsglieds (z. B. Verstärker, Filter) vom Eingangssignal. Der F. ist als komplexe Funktion beschreibbar und grafisch als Kurvenzug (Ortskurve) darstellbar; der Betrag des F. heißt Amplitudengang, seine Phase Phasengang.
↑ Meyers Großes Universallexikon in 15 Bänden, Bibliographisches Institut, 1982, Mannheim, Wien, Zürich, ISBN 3-411-01845-3, Band 5, Seite 291. Der Eintag Frequenzgang lautet: Frequenzgang, der Verlauf einer physikal. Größe als Funktion der Frequenz; auch Bez. für die Funktion selbst.
↑ Großes Duden Lexikon in acht Bänden, Bibliographisches Institut, 1965, Mannheim, Band 3, Seite 294. Der Eintrag zu "Frequenzgang" lautet: Frequenzgang, Abhängigkeit irgendeiner Größe, z. B. der Verstärkung, der Phasendrehung, der Dämpfung oder des Wellenwiderstandes, von der Frequenz 2) (Physik).
↑ Ulrich Freyer: Nachrichten-Übertragungstechnik, Hanser-Verlag, ISBN 978-3-446-41462-4, (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche) Zitat: [Erläuterung zur Zeitfunktion und Frequenzfunktion:] Während bei der Zeitfunktion Signalwert und Zeit einander zugeordnet sind, ist es bei der Frequenzfunktion der Signalwert und die Frequenz. Dabei gilt als vereinbart, dass sich Angaben stets auf sinusförmige Verläufe beziehen, die bekanntlich durch Amplitude, Frequenz und Phasenwinkel gekennzeichnet sind. [Im umrandeten Kasten:] Eine Frequenzfunktion f(f) ist eine Zuordnung zwischen den Werten sinusförmiger Signale und der Frequenz. [Erläuterung zu Frequenzfunktionen:] Bei Frequenzfunktionen, üblicherweise als Frequenzgang bezeichnet, können wir folgende Formen unterscheiden: [es folgen Amplituden-Frequenzgang und Phasenfrequenzgang]
↑ Kurt Magnus, Karl Popp: Schwingungen - Eine Einführung in die physikalischen Grundlagen und die theoretische Behandlung von Schwingungsproblemen. Teubner, ISBN 3-519-52301-9, S. 30 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
↑ Hansjürgen Bausch, Jürgen Steffen: Elektrotechnik - Grundlagen. Teubner, ISBN 3-519-46820-4, S. 214 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
↑ Heinz Jordan, Max Greiner: Mechanische Schwingungen. Verlag W. Girardet, 1952, S. 67 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche). Zitat: Ganz allgemein bezeichnet man die Abhängigkeit einer Größe von der Erregerfrequenz oder von der Abstimmung als ihren Frequenzgang.
↑ Andreas Wagner: Elektrische Netzwerkanalyse - Anwendungen in Mathcad, Books on Demand GmbH, ISBN 3-8311-2716-6, (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche) Zitat: Der Frequenzgang bezeichnet die Frequenzabhängigkeit einer komplexen Größe nach Betrag und Phasenwinkel in Abhängigkeit von der Frequenz f (bzw. $\omega$ ).
↑ Hermann Weidenfeller: Grundlagen der Kommunikationstechnik, Teubner-Verlag, Link
↑ Wolf-Ewald Büttner: Grundlagen der Elektrotechnik 2. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 2005, ISBN 978-3-486-27296-3, S. 113 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
↑ Rainer Ose: Elektrotechnik für Ingenieure: Bauelemente und Grundschaltungen mit PSpice. Hanser Verlag, 2006, ISBN 978-3-446-40678-0, S. 146 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
↑ Michael Möser: Messtechnik der Akustik. Springer, 2007, ISBN 978-3-540-68086-4, S. 293 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
↑ Reinhold Paul: Elektrotechnik für Informatiker. Teubner Verlag, 2004, ISBN 3-519-00360-0 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
↑ Rüdiger Hoffmann: Signalanalyse und Erkennung. Springer Verlag (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
↑ K. Reinschnke: Lineare Regelungs- und Steuerungstheorie, Springer-Verlag, S. 44 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)
↑ A. Friesecke: Die Audio-Enzyklopädie: Ein Nachschlagwerk für Tontechniker, K. G. Saur-Verlag, ISBN 978-3-598-11774-9, S. 137 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)
↑ R. Allmann, Arnt Kern: Röntgenpulverdiffraktometrie: Rechnergestützte Auswertung, Phasenanalyse und Strukturbestimmung, Springer-Verlag, ISBN 3-540-43967-6, S. 135 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)
↑ Michael Möser: Messtechnik der Akustik, Springer-Verlag, ISBN 987-3-540-68086-4, S. 124ff (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)
↑ W. Jakoby: Automatisierungstechnik - Algorithmen und Programme, Springer-Verlag, ISBN 3-540-60371-9, S. 193 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)
↑ Adalbert Prechtl: Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik: Band 2. Springer, 2008, ISBN 978-3-211-72455-2 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
↑ Rainer Ose: Elektrotechnik für Ingenieure: Bauelemente und Grundschaltungen mit PSpice. Hanser Verlag, 2006, ISBN 978-3-446-40678-0, S. 151 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
↑ Martin Werner: Signale und Systeme. Vieweg+Teubner Verlag, 2005, ISBN 978-3-528-13929-2, S. 155 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
↑ Michael Möser: Messtechnik der Akustik. Springer Verlag, ISBN 9873540680864(?!) – (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
↑ Stefan Weinzierl: Handbuch der Audiotechnik. Springer Verlag, ISBN 9873540343004(?!) – (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
↑ Holger Lutz, Wolfgang Wendt: Taschenbuch der Regelungstechnik, Verlag Harri Deutsch, Gießen, 2007, ISBN 978-3-8171-1807-6, Online=eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche}
↑ Adalbert Prechtl: Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik: Band 2. Springer, 2008, ISBN 978-3-211-72455-2 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
↑ Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Vieweg, 2007, ISBN 978-3-8348-0304-7 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

[Kategorie:Systemdarstellung]] [Kategorie:Signalverarbeitung]]

[1] Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus AG: Die Brockhaus Enzyklopädie-Online, Eintrag abgerufen am 22. Juni 2010. Der einleitende Text definiert den Begriff Frequenzgang folgendermaßen: Physik, Technik: allgemein der Verlauf einer physikalischen Größe als Funktion der Frequenz (der Kreisfrequenz ω), auch Bezeichnung für diese Funktion selbst; im engeren Sinn Bezeichnung für eine komplexe Funktion, die das Zeitverhalten zeitinvarianter linearer Übertragungsglieder der Nachrichten- oder Regelungstechnik kennzeichnet; Internet-Link

[2] Die Zeit - Das Lexikon (in 20 Bänden), Bibliographisches Institut, 2005, Mannheim, ISBN-13: 978-3411175802, Band 3, Seite 149. Der Eintrag zu "Frequenzgang" lautet: Frequenzgang, allg. der Verlauf einer physikal. Größe als Funktion der Frequenz, auch Bez. für diese Funktion selbst; i. e. S. Frequenzabhängigkeit des Ausgangssignals eines linearen Übertragungsglieds (z. B. Verstärker, Filter) vom Eingangssignal. Der F. ist als komplexe Funktion beschreibbar und grafisch als Kurvenzug (Ortskurve) darstellbar; der Betrag des F. heißt Amplitudengang, seine Phase Phasengang.

[3] Meyers Großes Universallexikon in 15 Bänden, Bibliographisches Institut, 1982, Mannheim, Wien, Zürich, ISBN 3-411-01845-3, Band 5, Seite 291. Der Eintag Frequenzgang lautet: Frequenzgang, der Verlauf einer physikal. Größe als Funktion der Frequenz; auch Bez. für die Funktion selbst.

[4] Großes Duden Lexikon in acht Bänden, Bibliographisches Institut, 1965, Mannheim, Band 3, Seite 294. Der Eintrag zu "Frequenzgang" lautet: Frequenzgang, Abhängigkeit irgendeiner Größe, z. B. der Verstärkung, der Phasendrehung, der Dämpfung oder des Wellenwiderstandes, von der Frequenz 2) (Physik).

[5] Ulrich Freyer: Nachrichten-Übertragungstechnik, Hanser-Verlag, ISBN 978-3-446-41462-4, (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche) Zitat: [Erläuterung zur Zeitfunktion und Frequenzfunktion:] Während bei der Zeitfunktion Signalwert und Zeit einander zugeordnet sind, ist es bei der Frequenzfunktion der Signalwert und die Frequenz. Dabei gilt als vereinbart, dass sich Angaben stets auf sinusförmige Verläufe beziehen, die bekanntlich durch Amplitude, Frequenz und Phasenwinkel gekennzeichnet sind. [Im umrandeten Kasten:] Eine Frequenzfunktion f(f) ist eine Zuordnung zwischen den Werten sinusförmiger Signale und der Frequenz. [Erläuterung zu Frequenzfunktionen:] Bei Frequenzfunktionen, üblicherweise als Frequenzgang bezeichnet, können wir folgende Formen unterscheiden: [es folgen Amplituden-Frequenzgang und Phasenfrequenzgang]

[6] Kurt Magnus, Karl Popp: Schwingungen - Eine Einführung in die physikalischen Grundlagen und die theoretische Behandlung von Schwingungsproblemen. Teubner, ISBN 3-519-52301-9, S. 30 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

[7] Hansjürgen Bausch, Jürgen Steffen: Elektrotechnik - Grundlagen. Teubner, ISBN 3-519-46820-4, S. 214 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

[8] Heinz Jordan, Max Greiner: Mechanische Schwingungen. Verlag W. Girardet, 1952, S. 67 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche). Zitat: Ganz allgemein bezeichnet man die Abhängigkeit einer Größe von der Erregerfrequenz oder von der Abstimmung als ihren Frequenzgang.

[9] Andreas Wagner: Elektrische Netzwerkanalyse - Anwendungen in Mathcad, Books on Demand GmbH, ISBN 3-8311-2716-6, (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche) Zitat: Der Frequenzgang bezeichnet die Frequenzabhängigkeit einer komplexen Größe nach Betrag und Phasenwinkel in Abhängigkeit von der Frequenz f (bzw. $\omega$ ).

[10] Hermann Weidenfeller: Grundlagen der Kommunikationstechnik, Teubner-Verlag, Link

[11] Wolf-Ewald Büttner: Grundlagen der Elektrotechnik 2. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 2005, ISBN 978-3-486-27296-3, S. 113 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

[12] Rainer Ose: Elektrotechnik für Ingenieure: Bauelemente und Grundschaltungen mit PSpice. Hanser Verlag, 2006, ISBN 978-3-446-40678-0, S. 146 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

[13] Michael Möser: Messtechnik der Akustik. Springer, 2007, ISBN 978-3-540-68086-4, S. 293 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

[14] Reinhold Paul: Elektrotechnik für Informatiker. Teubner Verlag, 2004, ISBN 3-519-00360-0 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

[15] Rüdiger Hoffmann: Signalanalyse und Erkennung. Springer Verlag (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

[16] K. Reinschnke: Lineare Regelungs- und Steuerungstheorie, Springer-Verlag, S. 44 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)

[17] A. Friesecke: Die Audio-Enzyklopädie: Ein Nachschlagwerk für Tontechniker, K. G. Saur-Verlag, ISBN 978-3-598-11774-9, S. 137 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)

[18] R. Allmann, Arnt Kern: Röntgenpulverdiffraktometrie: Rechnergestützte Auswertung, Phasenanalyse und Strukturbestimmung, Springer-Verlag, ISBN 3-540-43967-6, S. 135 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)

[19] Michael Möser: Messtechnik der Akustik, Springer-Verlag, ISBN 987-3-540-68086-4, S. 124ff (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)

[20] W. Jakoby: Automatisierungstechnik - Algorithmen und Programme, Springer-Verlag, ISBN 3-540-60371-9, S. 193 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)

[21] Adalbert Prechtl: Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik: Band 2. Springer, 2008, ISBN 978-3-211-72455-2 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

[22] Rainer Ose: Elektrotechnik für Ingenieure: Bauelemente und Grundschaltungen mit PSpice. Hanser Verlag, 2006, ISBN 978-3-446-40678-0, S. 151 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

[23] Martin Werner: Signale und Systeme. Vieweg+Teubner Verlag, 2005, ISBN 978-3-528-13929-2, S. 155 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

[24] Michael Möser: Messtechnik der Akustik. Springer Verlag, ISBN 9873540680864(?!) – (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

[25] Stefan Weinzierl: Handbuch der Audiotechnik. Springer Verlag, ISBN 9873540343004(?!) – (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

[26] Holger Lutz, Wolfgang Wendt: Taschenbuch der Regelungstechnik, Verlag Harri Deutsch, Gießen, 2007, ISBN 978-3-8171-1807-6, Online=eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche}

[27] Adalbert Prechtl: Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik: Band 2. Springer, 2008, ISBN 978-3-211-72455-2 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

[28] Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Vieweg, 2007, ISBN 978-3-8348-0304-7 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

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