Benutzer:Nijdam/Ziegen Argumenten

Analyse des Ziegenproblems

Ich modelliere das Problem wie folgt:

Mit A₁ bezeichne ich das Ereignis das Auto steht hinter dem Tor 1. Analog A₂ und A₃. Es gilt:

$P(A_{1})=P(A_{2})=P(A_{3})={\tfrac {1}{3}}.$

Mit K₁ bezeichne ich das Ereignis der Kandidat wählt am Anfang das Tor 1. Analog K₂ und K₃.

Die Wahl des Kandidaten erfolgt unabhängig der Stelle des Autos, also gilt:

$P(A_{i}\ und\ K_{j})=P(A_{i})P(K_{j})={\tfrac {1}{3}}P(K_{j}).$

Mit M₁ bezeichne ich das Ereignis der Moderator öffnet das Tor 1. Analog M₂ und M₃.

Laut Regeln ist:

$P(M_{i}|A_{i}\ und\ K_{j})=0.$ (Nie wird das Tor mit dem Auto geöffnet)

$P(M_{j}|A_{i}\ und\ K_{j})=0.$ (Nie wird das gewählte Tor geöffnet)

Also sind:

$P(M_{3}|A_{2}\ und\ K_{1})=P(M_{2}|A_{3}\ und\ K_{1})=1.$

$P(M_{3}|A_{1}\ und\ K_{2})=P(M_{1}|A_{3}\ und\ K_{2})=1.$

$P(M_{2}|A_{1}\ und\ K_{3})=P(M_{1}|A_{2}\ und\ K_{3})=1.$

Laut Regeln ist auch:

$P(M_{2}|A_{1}\ und\ K_{1})=P(M_{3}|A_{1}\ und\ K_{1})={\tfrac {1}{2}}.$

$P(M_{1}|A_{2}\ und\ K_{2})=P(M_{3}|A_{2}\ und\ K_{2})={\tfrac {1}{2}}.$

$P(M_{1}|A_{3}\ und\ K_{3})=P(M_{2}|A_{3}\ und\ K_{3})={\tfrac {1}{2}}.$

Die Wahrscheinlichkeit das Auto stehe hinterm Tor 3 ist also:

$P(A_{3})={\tfrac {1}{3}}.$

Was wäre nun wenn der Moderator das Tor 3 öffnet? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit das Auto stehe hinterm Tor 3? Wie oben erwähnt:

$P(A_{3})={\tfrac {1}{3}}.$

Aber es zeigt sich doch 100% eine Ziege? Es gibt doch keine Chance mehr aufs Auto? Das ist richtig, aber beim Platzieren des Autos ist in 1/3 der Fälle das Auto hinter dem Tor 3 gelandet. Deshalb ist die Wahrscheinlichkeit das Auto stehe hinterm Tor 3, 1/3. Es ist zwar eine neue Situation eingetreten, aber das ändert die Wahrscheinlichkeiten nicht. Es gibt in der neue Situation auch neue Wahrscheinlichkeiten. Und die neue Wahrscheinlichkeit das Auto stehe hinterm Tor 3 ist offensichtlich 0! Die neue Wahrscheinlichkeiten heißen zum Unterschied 'bedingte' Wahrscheinlichkeiten. Es sind auch Andere als die Urspungliche, unbedingte Wahrscheinlichkeiten. Sie beziehen sich auf der neue Situation. Die bedingte Wahrscheinlichkeit das Auto stehe hinterm Tor 3 ist 0.

$\!\,P(A_{3}|M_{3})=0.$

Nehmen wir an der Kandidat hat das Tor 1 gewählt. Alle Wahrscheinlichkeiten betriffen ab jetzt bedingte Wahrscheinlichkeiten, vorausgesetzt das Ereignis K₁. Es gilt z. B.:

$P(A_{1}|K_{1})=P(A_{2}|K_{1})=P(A_{3}|K_{1})={\tfrac {1}{3}}.$

Jetzt öffnet der Moderator das Tor 3. Alle Wahrscheinlichkeiten betriffen ab jetzt bedingte Wahrscheinlichkeiten, vorausgesetzt die Ereignisse K₁ und M₃. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit das Auto stehe hinterm Tor 3? Wie immer:

$P(A_{3})={\tfrac {1}{3}}.$

Aber!! die bedingte Wahrscheinlichkeit das Auto stehe hinterm Tor 3, vorausgesetzt K₁ und M₃, ist:

$P(A_{3}|K_{1}\ und\ M_{3})=0.$

Und wie groß ist die Wahrscheinlichkeit das Auto stehe hinterm Tor 1? Wissen wir doch:

$P(A_{1})={\tfrac {1}{3}}.$

Und wie groß ist die Wahrscheinlichkeit das Auto stehe hinterm Tor 2, das ungeöffnete Tor? Ja, wie immer:

$P(A_{2})={\tfrac {1}{3}}.$

Es gilt ja:

$\!\,P(A_{1})+P(A_{2})+P(A_{3})=1.$

Aber wie groß ist in der neue Situation die Wahrscheinlichkeit das Auto stehe hinterm Tor 2, d. h. wie groß ist die bedingte Wahrscheinlichkeit

$P(A_{2}|K_{1}\ und\ M_{3})$

das Auto stehe hinterm Tor 2, vorausgesetzt K₁ und M₃? Das wissen wir nicht, das muss hochgerechnet werden.

Auch für die bedingte Wahrscheinlichkeiten gilt:

$P(A_{1}|K_{1}\ und\ M_{3})+P(A_{2}|K_{1}\ und\ M_{3})+P(A_{3}|K_{1}\ und\ M_{3})=1.$

Und wir wissen schon:

$P(A_{3}|K_{1}\ und\ M_{3})=0.$

also ist:

$P(A_{1}|K_{1}\ und\ M_{3})+P(A_{2}|K_{1}\ und\ M_{3})=1.$

Also reicht es aus eines der zwei bedingte Wahrscheinlichkeiten hochzurechnen, denn im voraus kennen wir keines der Zwei.

Wir berechnen unter Anwendung des Satzes von Bayes:

$P(A_{2}|K_{1}\ und\ M_{3})=$

$={\frac {P(M_{3}|A_{2}\ und\ K_{1})P(A_{2}|K_{1})}{P(M_{3}|A_{1}\ und\ K_{1})P(A_{1}|K_{1})+P(M_{3}|A_{2}\ und\ K_{1})P(A_{2}|K_{1})}}$

$={\frac {1\times {\tfrac {1}{3}}}{{\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {1}{3}}+1\times {\tfrac {1}{3}}}}={\tfrac {2}{3}}.$

Weil die Wahl des Kandidaten keine wichtige Rolle spielt, betrachtet man die Berechnung oft von vorne heran in der Situation das Tor 1 gewählt worden ist. In der Berechnung kann dann die Bedingung K₁ weggelassen werden.

Eine andere Möglichkeit wäre die Symmetrie des Problems zu benutzen, um zu beweisen dass die bedingte Wahrscheinlichkeit das Auto stehe hinterm Tor 1, vorausgesetzt K₁ und M₃ auch 1/3 ist, gleich wie die Unbedingte.

$P(A_{1}|K_{1}\ und\ M_{3})={\tfrac {1}{3}}.$

Es gilt:

$P(A_{1}|K_{1})=P(A_{1}|K_{1}\ und\ M_{3})P(M_{3}|K_{1})+P(A_{1}|K_{1}\ und\ M_{2})P(M_{2}|K_{1})$

Wegen der Symmetrie wird gelten:

$\!\,P(A_{1}|K_{1}\ und\ M_{3})=P(A_{1}|K_{1}\ und\ M_{2})$

Damit ist:

${\tfrac {1}{3}}=P(A_{1}|K_{1})=$

$=P(A_{1}|K_{1}\ und\ M_{3})P(M_{3}|K_{1})+P(A_{1}|K_{1}\ und\ M_{2})P(M_{2}|K_{1})=$

$=P(A_{1}|K_{1}\ und\ M_{3})\left[P(M_{3}|K_{1})+P(M_{2}|K_{1})\right]=$

$=P(A_{1}|K_{1}\ und\ M_{3}).$

Warum die 'einfache Erklärung' falsch ist

Die 'einfache Erklärung' macht keinen Unterschied zwischen $P(A_{1}|K_{1})$ (oder $P(A_{1})$) und $P(A_{1}|K_{1}\ und\ M_{3})$. Zwar weisen beide den Wert 1/3 auf, aber das erfolgt nicht ohne Beweis.

Warum die 'combined doors solution' falsch ist

Es gilt $P(A_{2}|K_{1})=P(A_{3}|K_{1})={\tfrac {1}{3}}$, und also für die 'combined doors' $P(A_{2}|K_{1})+P(A_{3}|K_{1})={\tfrac {2}{3}}$. Daraus lasst sich nichts herleiten für das Tor 2. Es gilt unverändert $P(A_{2}|K_{1})={\tfrac {1}{3}}$ und das obige besagt nichts über $P(A_{2}|K_{1}\ und\ M_{3})$.

Nijdam 00:11, 4. Jun. 2009 (CEST)

Wer noch immer meint es gäbe eine einfachere Lösung ("immer Wechseln", "combined doors", millionen Tore, usw.) ohne bedingte W'keiten bitte ich auf der Diskussionsseite mit Hilfe des obigen Formulariums seine Lösung zu beschreiben. Nijdam 19:06, 1. Jun. 2009 (CEST)

Warum wechseln nicht ohne weiteres mit 2/3 Chance das Auto gewinnt

Die einfache Erklarung wird oft auch in dieser form gegeben: Wenn der Kandidat nicht ein Tor mit dem Auto wählt, gewinnt er beim Wechseln. Im Fall Tor 1 gewählt worden ist und Tor 3 geöffnet, gilt dass die W'keit aufs Auto also die bedingte W'keit $P(A_{2}|K_{1}\ und\ M_{3})$ ist. 0der alternativ: $1-P(A_{1}|K_{1}\ und\ M_{3})$. Der Fehler liegt wieder darin dass man $P(A_{1}|K_{1}\ und\ M_{3})$ hochrechnen muss und meint sie sei gleich $P(A_{1}|K_{1})={\tfrac {1}{3}}$.Nijdam 16:06, 9. Jun. 2009 (CEST)