Benutzer:OlafTheScientist/Artikelentwurf

Überarbeitung des Artikels Epipolargeometrie:

Beziehung zwischen korrespondierenden Punkten (alte Version)

Die Herleitung der Fundamentalmatrix beruht auf der Idee, im ersten Bild einen Punkt $\mathbf {x} _{1}$ auszuwählen, dann einen beliebigen Objektpunkt $\mathbf {X}$ zu bestimmen, der auf diesen Bildpunkt abgebildet wird, und schließlich dessen Bildpunkt $\mathbf {x} _{2}$ im zweiten Bild zu berechnen. Dieser Punkt $\mathbf {x} _{2}$ und der Epipol $\mathbf {e} _{2}$ befinden sich auf der zu $\mathbf {x} _{1}$ gehörenden Epipolarlinie in der Bildebene des zweiten Bildes und beschreiben sie damit eindeutig.

Ist ein Punkt $\mathbf {x} _{1}$ im ersten Bild gegeben, lässt sich mit Hilfe der zugehörigen Projektionsmatrix $\mathbf {P} _{1}$ der Strahl, auf dem der dazugehörige Objektpunkt liegt, angeben. Der Objektpunkt selbst kann nicht bestimmt werden, da die Entfernung von der Kamera unbekannt ist. Ein beliebiger Punkt auf dem Strahl lässt sich mit der Pseudoinversen $\mathbf {P} _{1}^{+}$ berechnen:

\mathbf {X} =\mathbf {P} _{1}^{+}\mathbf {x} _{1}.

Dieser Punkt kann mit der Projektionsmatrix $\mathbf {P} _{2}$ der zweiten Kamera in das zweite Bild abgebildet werden:

\mathbf {x} _{2}=\mathbf {P} _{2}\mathbf {X} =\mathbf {P} _{2}\mathbf {P} _{1}^{+}\mathbf {x} _{1}.

Damit ist ein Punkt auf der zu $\mathbf {x} _{1}$ gehörenden Epipolarlinie im zweiten Bild bekannt. Ein weiterer Punkt auf dieser Epipolarlinie ist der Epipol $\mathbf {e} _{2}$ , der das Bild des Projektionszentrums $\mathbf {O} _{1}$ der ersten Kamera ist:

\mathbf {e} _{2}=\mathbf {P} _{2}\mathbf {O} _{1}.

Die Epipolarlinie wird in homogenen Koordinaten durch die Geradengleichung $\mathbf {l} _{2}^{\text{T}}\mathbf {x} _{2}=0$ beschrieben,^{[F 1]} wobei $\mathbf {l} _{2}$ als Kreuzprodukt aus den beiden angegebenen Geradenpunkten berechnet werden kann:

\mathbf {l} _{2}=\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {x} _{2}=(\mathbf {P} _{2}\mathbf {O} _{1})\times (\mathbf {P} _{2}\mathbf {P} _{1}^{+}\mathbf {x} _{1}).

Dieses Kreuzprodukt kann mit einer schiefsymmetrischen Matrix $\mathbf {S}$ auch als Matrizenmultiplikation geschrieben werden:

\mathbf {l} _{2}=(\mathbf {S} _{\mathbf {P} _{2}\mathbf {O} _{1}}\mathbf {P} _{2}\mathbf {P} _{1}^{+})\mathbf {x} _{1}=\mathbf {F} \mathbf {x} _{1},

wobei der Klammerausdruck zu der Fundamentalmatrix $\mathbf {F}$ zusammengefasst ist. Damit lautet die Gleichung der Epipolarlinie und die Beziehung zwischen korrespondierenden Punkten:

\mathbf {l} _{2}^{\text{T}}\mathbf {x} _{2}=\mathbf {x} _{2}^{\text{T}}\mathbf {l} _{2}=\mathbf {x} _{2}^{\text{T}}\mathbf {F} \mathbf {x} _{1}=0

oder:

{\begin{pmatrix}x_{2}&y_{2}&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}f_{11}&f_{12}&f_{13}\\f_{21}&f_{22}&f_{23}\\f_{31}&f_{32}&f_{33}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\1\end{pmatrix}}=0

.

Diese Gleichung wird als Epipolargleichung bezeichnet.

Eine Spezialisierung der Fundamentalmatrix ist die essentielle Matrix. Diese ergibt sich, wenn normierte Bildkoordinaten verwendet werden, bei denen der Ursprung des kartesischen Bildkoordinatensystems im Hauptpunkt des Bildes liegt. Da diese Bedingung bei der Fundamentalmatrix nicht erfüllt sein muss, kommt sie im Vergleich zur essentiellen Matrix mit weniger Annahmen aus.

Beziehung zwischen korrespondierenden Punkten (neue Version)

Epipolargeometrie (enthält implizit die Komplanaritätsbedingung zwischen dem Raumdreieck)

Die Epipolargeometrie beschreibt die Abbildungsgeometrie eines 3D-Objektpunktes $\mathbf {X}$ für ein Bildpaar (s. Abb.). Dabei wird der Objektpunkt jeweils über einen geraden Abbildungsstrahl ins erste Bild projiziert, wo es den Bildpunkt $\mathbf {x} _{1}$ erzeugt, und gleichermaßen ins zweite Bild projiziert, wo dessen homologer Bildpunkt $\mathbf {x} _{2}$ erzeugt wird. Die gerade Verbindungslinie zwischen den beiden Projektionszentren ${\vec {b}}={\overline {O_{1}O_{2}}}$ nennt man Basisvektor (oder kurz: Basis; selten: Stereobasis). Somit ergibt die Abbildungsgeometrie ein räumliches Dreieck, welches jeweils als Schnittmenge mit den beiden Bildern die Epipolarlinien ergeben. Die Dreiecksseiten ${\overline {O_{1}\mathbf {X} }}$ , ${\vec {b}}$ und ${\overline {O_{2}\mathbf {X} }}$ liegen in einer Ebene, sind also koplanar zueinander. Diese Restriktion läßt sich vorteilhaft nutzen – u. a. zur Herleitung.

Die Bildpunktvektoren $\mathbf {x} _{1}$ und $\mathbf {x} _{2}$ sind hierbei in homogenen Koordinaten ausgedrückt, d. h. sie haben 3 Elemente. Dieser Vektor zeigt die Richtung des Abbildungstrahls an bezüglich des jeweiligen Projektionszentrums hin zum Objektpunkt ${\vec {X}}$ . Die Länge eines homogenen Vektors ist beliebig skalierbar. Hierbei ist die Vorstellung hilfreich, dass ein homogener Bildpunktvektor die Verbindungslinie zwischen dem Projektionszentrum und dem Punkt in der Bildebene ist ${\vec {x_{1}}}={\overline {O_{1}x_{1}}}$ , der beliebig skaliert ist $\mathbf {x} _{1}=\lambda _{1}{\vec {x_{1}}}$ . Dies gilt gleichermaßen für den Bildpunkt im zweiten Bild: ${\vec {x_{2}}}={\overline {O_{2}x_{2}}}$ und der (beliebig skalierte) homogene Vektor ist $\mathbf {x} _{2}=\lambda _{2}{\vec {x_{2}}}$ . Nochmal explizit:

$\mathbf {x} _{1}={\begin{pmatrix}u_{1}\\v_{1}\\w_{1}\end{pmatrix}}$ , ${\vec {x_{1}}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}$ ; für $\lambda _{1}={\frac {1}{z_{1}}}$ gilt: $\mathbf {x} _{1}={\begin{pmatrix}u_{1}\\v_{1}\\w_{1}\end{pmatrix}}={\frac {1}{z_{1}}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {x_{1}}{z_{1}}}\\{\frac {y_{1}}{z_{1}}}\\1\end{pmatrix}}$

Bei (stark) konvergenter Anordnung eines Bildpaares schneidet der Basisvektor beide Bilder und erzeugt als Schnittpunkt jeweils die Epipole $\mathbf {e} _{1}$ und $\mathbf {e} _{2}$ .

Die zu $\mathbf {x} _{1}$ gehörende Epipolarlinie $\mathbf {l} _{2}$ im zweiten Bild wird durch das Epipol $\mathbf {e} _{2}$ und den korrespondierenden Bildpunkt $\mathbf {x} _{2}$ eindeutig beschrieben.

Es gibt viele Möglichkeiten daraus eine kompakte mathematische Formel herzuleiten, mit dem Ziel die Abbildungsgeometrie zwischen $\mathbf {x} _{1}$ und $\mathbf {x} _{2}$ zu formulieren. Zwei häufig anzutreffende Varianten sollen hier vorgestellt werden.

Herleitung Variante 1:

zur Herleitung Variante 1: Epipolarlinie im Bild 2 wird erzeugt durch Rückprojektion des Bildpunks im Bild 1 und Abbildung verschiedener Punkte entlang dieses Projektionsstrahls in Bild 2

Die 1. Variante der Herleitung der Fundamentalmatrix beruht auf der Idee, dass die Abbildungsgleichung $\mathbf {x} _{1}=\mathbf {P} _{1}\mathbf {X}$ invertiert wird. ... (hier weitermachen)

im ersten Bild einen Punkt $\mathbf {x} _{1}$ auszuwählen, dann einen beliebigen Objektpunkt $\mathbf {X}$ zu bestimmen, der auf diesen Bildpunkt abgebildet wird, und schließlich dessen Bildpunkt $\mathbf {x} _{2}$ im zweiten Bild zu berechnen. Dieser Punkt $\mathbf {x} _{2}$ und der Epipol $\mathbf {e} _{2}$ befinden sich auf der zu $\mathbf {x} _{1}$ gehörenden Epipolarlinie in der Bildebene des zweiten Bildes und beschreiben sie damit eindeutig.

Ist ein Punkt $\mathbf {x} _{1}$ im ersten Bild gegeben, lässt sich mit Hilfe der zugehörigen Projektionsmatrix $\mathbf {P} _{1}$ der Strahl, auf dem der dazugehörige Objektpunkt liegt, angeben. Der Objektpunkt selbst kann nicht bestimmt werden, da die Entfernung von der Kamera unbekannt ist. Ein beliebiger Punkt auf dem Strahl lässt sich mit der Pseudoinversen $\mathbf {P} _{1}^{+}$ berechnen:

\mathbf {X} =\mathbf {P} _{1}^{+}\mathbf {x} _{1}.

Dieser Punkt kann mit der Projektionsmatrix $\mathbf {P} _{2}$ der zweiten Kamera in das zweite Bild abgebildet werden:

\mathbf {x} _{2}=\mathbf {P} _{2}\mathbf {X} =\mathbf {P} _{2}\mathbf {P} _{1}^{+}\mathbf {x} _{1}.

Damit ist ein Punkt auf der zu $\mathbf {x} _{1}$ gehörenden Epipolarlinie im zweiten Bild bekannt. Ein weiterer Punkt auf dieser Epipolarlinie ist der Epipol $\mathbf {e} _{2}$ , der das Bild des Projektionszentrums $\mathbf {O} _{1}$ der ersten Kamera ist:

\mathbf {e} _{2}=\mathbf {P} _{2}\mathbf {O} _{1}.

Die Epipolarlinie wird in homogenen Koordinaten durch die Geradengleichung $\mathbf {l} _{2}^{\text{T}}\mathbf {x} _{2}=0$ beschrieben, wobei $\mathbf {l} _{2}$ als Kreuzprodukt aus den beiden angegebenen Geradenpunkten berechnet werden kann:

\mathbf {l} _{2}=\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {x} _{2}=(\mathbf {P} _{2}\mathbf {O} _{1})\times (\mathbf {P} _{2}\mathbf {P} _{1}^{+}\mathbf {x} _{1}).

Dieses Kreuzprodukt kann mit einer schiefsymmetrischen Matrix $\mathbf {S}$ auch als Matrizenmultiplikation geschrieben werden:

\mathbf {l} _{2}=(\mathbf {S} _{\mathbf {P} _{2}\mathbf {O} _{1}}\mathbf {P} _{2}\mathbf {P} _{1}^{+})\mathbf {x} _{1}=\mathbf {F} \mathbf {x} _{1},

wobei der Klammerausdruck zu der Fundamentalmatrix $\mathbf {F}$ zusammengefasst ist. Damit lautet die Gleichung der Epipolarlinie und die Beziehung zwischen korrespondierenden Punkten:

\mathbf {l} _{2}^{\text{T}}\mathbf {x} _{2}=\mathbf {x} _{2}^{\text{T}}\mathbf {l} _{2}=\mathbf {x} _{2}^{\text{T}}\mathbf {F} \mathbf {x} _{1}=0

oder:

{\begin{pmatrix}x_{2}&y_{2}&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}f_{11}&f_{12}&f_{13}\\f_{21}&f_{22}&f_{23}\\f_{31}&f_{32}&f_{33}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\1\end{pmatrix}}=0

.

Diese Gleichung wird als Epipolargleichung bezeichnet.

Eine Spezialisierung der Fundamentalmatrix ist die essentielle Matrix. Diese ergibt sich, wenn normierte Bildkoordinaten verwendet werden, bei denen der Ursprung des kartesischen Bildkoordinatensystems im Hauptpunkt des Bildes liegt. Da diese Bedingung bei der Fundamentalmatrix nicht erfüllt sein muss, kommt sie im Vergleich zur essentiellen Matrix mit weniger Annahmen aus.

Herleitung Variante 2:

Die Herleitung der Fundamentalmatrix beruht auf der Idee, dass ein Punkt $\mathbf {x} _{1}$ im ersten Bild und dessen korrespondierender Bildpunkt $\mathbf {x} _{2}$ im zweiten Bild zusammen mit dem Basisvektor ${\vec {b}}$ in einer Ebene liegen, also koplanar zueinander sind.

↑ Eine Gerade wird in homogenen Koordinaten durch eine homogene lineare Gleichung zwischen den homogenen Koordinaten definiert, das heißt alle Punkte $\mathbf {x}$ , die die Geradengleichung $\mathbf {l} ^{\text{T}}\mathbf {x} =0$ erfüllen, liegen auf der durch $\mathbf {l}$ bestimmten Geraden. Die Punkte $\mathbf {x}$ der Geraden, die zwei verschiedene Punkte $\mathbf {x} _{1}$ und $\mathbf {x} _{2}$ enthält, werden durch das Spatprodukt $\det(\mathbf {x} ,\,\mathbf {x} _{1},\,\mathbf {x} _{2})\,=\,(\mathbf {x} _{1}\times \mathbf {x} _{2})^{\text{T}}\mathbf {x} \,=\,0$ definiert.

[homo-1] Eine Gerade wird in homogenen Koordinaten durch eine homogene lineare Gleichung zwischen den homogenen Koordinaten definiert, das heißt alle Punkte $\mathbf {x}$ , die die Geradengleichung $\mathbf {l} ^{\text{T}}\mathbf {x} =0$ erfüllen, liegen auf der durch $\mathbf {l}$ bestimmten Geraden. Die Punkte $\mathbf {x}$ der Geraden, die zwei verschiedene Punkte $\mathbf {x} _{1}$ und $\mathbf {x} _{2}$ enthält, werden durch das Spatprodukt $\det(\mathbf {x} ,\,\mathbf {x} _{1},\,\mathbf {x} _{2})\,=\,(\mathbf {x} _{1}\times \mathbf {x} _{2})^{\text{T}}\mathbf {x} \,=\,0$ definiert.

[F 1]