Petre Pascu

Coriolis Effekt, Coriolisbeschleunigung und Corioliskraft

Der Coriolis-Effekt ist ein Effekt der Auftritt wenn in einem Inertialsystem eine Geschwindigkeit ${\vec {v}}$ in einem zentralen drehsymmetrischen Vektorfeld ${\vec {v}}_{or}(\varphi )$ , Kraft- oder Geschwindigkeitsfeld abgelenkt wird.
Wegen der Drehsymmetrie ist : $rot\;{\vec {v}}_{or}=\nabla \times {\vec {v}}_{or}=0$ , dann ist dieses Vektorfeld der Gradient eines Skalarfeldes.
Dies kann ein drehsymmetrischer Druckgradient sein wie bei der Bildung eines Hurrikan, oder der Gradient eines skalaren Potentials wie dem Gravitationspotential.
Das drehsymmetrische Vektorfeld der ablenkenden Geschwindigkeit wird direkt generiert zum Beispiel durch ein drehendes Karussell.

Der Gradient des Potentialfeldes ist:

{\vec {v}}_{or}=-{\vec {\nabla U}}

Dann hat das Vektorfeld ein skalares Potential ^[1]:

U_{cf}(r(t),\omega (t))=-1/2*r^{2}*\omega ^{2}=-1/2*(L/m)^{2}*1/r^{2}

Dies kann in einem durch die Corioliskraft, was bei der Hurrikan-Bildung in einem Inertialsystem beobachtet werden kann.
Beobachtet wird der Effekt auch von einen rotierender Beobachter in seinem rotierenden Bezugsystem beobachtet, wenn ein bewegtes Objekt seinen radialen Abstand zur Drehachse verändert. Das bewegte Objekt weicht dann von der kräftefreien Bahn ab (welche in einem rotierenden Bezugsystem eine Evolvente ist) und bewegt sich auf einer Kurbe entgegengesetzt der Drehrichtung des rotierenden Systems, verursacht wird dies durch die kräftefreie inertiale Bewegung des Körpers unter Drehimpulserhaltung. Die Coriolisbeschleunigung tritt auf, wenn eine Kraft aufgewendet wird um den Körper von seiner freien inertialen Bahn abzubringen. Dem wirkt dann eine Trägheitskraft entgegen, die Corioliskraft.

Wir betrachten, ohne äußere Einwirkung von Kräften und Momenten:

\Sigma {\vec {F}}_{ext}=0

\Sigma {\vec {M}}_{ext}=0

die Bewegung eines Punktes (M) mit seiner zugehörigen Geschwindigkeit ${\vec {v}}$ und Impuls ${\vec {p}}=m*{\vec {v}}$ , relativ zu einem beliebigen Punkt (P) der nicht auf dem Vektor ${\vec {p}}$ liegt. Es existiert dann ein Ortsvektor $\exists {\vec {PM}}={\vec {r}}$ . Dazu existiert, als Faktum der Realität, ein Drehimpuls und somit eine Drehung des Ortsvektors ${\vec {r}}$ im Inertialsystem { ${\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}}$ }. Der Drehimpuls ${\vec {L}}$ ist das Moment des Impulses ${\vec {p}}$ eines Punktes (M) in Bezug zu einem beliebigen Punkt (P), wodurch sich die mathematische Beziehung definiert:

\exists {\vec {L}}={\vec {r}}\times {\vec {p}}

Als Maß der veränderlichen Drehlage des Ortsvektors ${\vec {r}}$ bestimmt sich der Winkel $\varphi$ mit der Winkelgeschwindigkeit $\omega =d\varphi /dt$ .
Liegt der Ortsvektor ${\vec {r}}$ parallel zum Impulsvektor ${\vec {p}}$ , also der Punkt (P) auf dem Vektor, so ist der Drehimpuls gleich Null, eine Drehung existiert dann nicht, da das Vektorprodukt paraller Vektoren gleich Null ist, dann ist ${\vec {r}}\times {\vec {p}}=0$
Durch die freie Wahl des Punktes (P) wird so eine Drehachse ${\vec {L}}$ definiert, mit einem zugehörigen rotierenden Bezugsystem. Die Vektoren ${\vec {r}}$ und ${\vec {p}}$ definieren in einem euklidischen 3D-Raum eine Ebene auf welche der Vektor des Drehimpulses ${\vec {L}}$ senkrecht steht. Es existiert in dieser Ebene, der zu ${\vec {r}}$ orthogonale Vektor ${\vec {r}}_{T}$ . Zusammen definieren die Vektoren { ${\vec {r}},{\vec {r}}_{T},{\vec {L}}$ } ein rotierendes orthogonales Bezugsystem, in welchem der Ortsvektor ${\vec {r}}$ ruht, mit den Einheitsvektoren, radial, tangential, axial:

{

{\vec {e}}_{r},{\vec {e}}_{T},{\vec {e}}_{L}

}

Die Geschwindigkeit ${\vec {v}}$ hat darin den Ausdruck:

{\vec {v}}=d{\vec {r}}/dt

mit den Komponenten, radial und tangential, welche nicht konstant in der Zeit sind:

{\vec {v}}_{r}=({\vec {v}}*{\vec {e}}_{r})*{\vec {e}}_{r}

- entlang des Ortsvektors (blaue Achse)

{\vec {v}}_{T}=({\vec {v}}*{\vec {e}}_{T})*{\vec {e}}_{T}

- entlang der Orthogonalen zum Orstvektor

Beide gehören also nicht zu einem Inertialsystem, da die Geschwindigkeit entlang dieser Richtungen nicht konstant ist. Es existiert allerdings eine Bewegungsrichtung die einem Inertialsystem angehört (grüne Linie). Es ist die Gerade auf welcher der Ball seine Bewegung mit der erworbenen Geschwindigkeit ${\vec {v}}$ tangential gleichförmig und geradlinig fortsetzt nachdem die radiale Bindung an das Zentrum entfallen ist.

Der im Intertialsystem rotierende Ortsvektor kann sowohl mit den Einheitsvektoren des Inertialsystems als auch mit den Einheitsvektoren des eigenen rotierenden System dargestellt werden. Der mathematischen Einfachheit halber, als auch um die radiale und tangentialen Komponenten relative zum Ortsvektor heraus zu arbeiten, wählen wird die Darstellung mit den Einheitsvektoren des rotierenden Systems. In diesem Bezugsystem besitzt der Vektor ${\vec {p}}$ die folgenden Komponenten, radial und tangential. Eine axiale Komponente gibt es nicht:

{\vec {p}}={\vec {p}}_{r}+{\vec {p}}_{T}

mit:

{\vec {r}}\times {\vec {p}}_{r}=0

, da beide parallel sind.

Der Drehimpuls einer im rotierenden Bezugsystem mitrotierenden Masse "m" erhält dann den Ausdruck:

{\vec {L}}={\vec {r}}\times {\vec {p}}_{T}=m*r*v_{T}*{\vec {e}}_{T}

Da der Ortsvektor in diesem Bezugsystem ruht, kann seine Phasenlage gleich Null gewählt werden. Er hat dann in diesem rotierenden Bezugsystem die Gleichung:

{\vec {r}}=r*{\vec {e}}_{r}

Unter Benutzung der bekannten Ableitungsregel für Vektoren:

d{\vec {r}}/dt=dr/dt*{\vec {e}}_{r}+\omega *{\vec {r}}_{T}

oder:

d{\vec {r}}/dt=dr/dt*{\vec {e}}_{r}+{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}

erhält man nach zweimaliger Ableitung des Ortsvektors den mathematischen Ausdruck der Beschleunigung in Polarkoordinaten:

{\vec {a}}=d^{2}{\vec {r}}/dt^{2}=(d^{2}r/dt^{2}-r*\omega ^{2})*{\vec {e}}_{r}+r*d\omega /dt*{\vec {e}}_{T}+2*\omega *dr/dt*{\vec {e}}_{T}={\vec {a}}_{r}+{\vec {a}}_{T}

Der obige Ausdruck der Beschleunigung beschreibt die notwendigen und hinreichenden Bedingungen damit der Ortsvektor eine gegebene Bewegungsbahn beschreibt. Um die Bewegungsbahn in Polarkoordinaten durch die Bewegungsgleichung zu bestimmen, müssen also die Parameter $r,\varphi ,\omega und\omega '$ bestimmt sein. Unter Drehimpulserhaltung ist die tangentiale Beschleunigung gleich Null.