Benutzer:Physikaficionado/Lorentz-Oszillator-Röntgenstrahlung

Anwendung

Atomares Dipolmoment

Das atomare Dipolmoment ist definiert als ${\vec {p}}=-e{\vec {x}}$, wobei ${\vec {x}}$ vom Elektron zum Kern zeigt, sodass sich dieses zu

${\vec {p}}={\frac {e^{2}}{m}}{\frac {1}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}-\mathrm {i} \beta \omega }}{\vec {E}}_{0}\exp(-\mathrm {i} \omega t).$

ergibt.

Dielektrische Funktion

Real- und Imaginärteil der dielektrischen Funktion in Abhängigkeit von der Kreisfrequenz des treibenden Feldes

Real- und Imaginärteil der dielektrischen Funktion im visuellen Bereich für einen Halbleiter (Silicium) mit Bandübergängen in diesem Bereich; im Gegensatz zum oberen Bild ist hier als horiz. Achse die Wellenlänge $\lambda =2\pi {\frac {c}{\omega }}$ aufgetragen

Mittels des Zusammenhangs zwischen dielektrischer Funktion $\varepsilon (\omega )$ und der Polarisierbarkeit $\alpha (\omega )$:

${\begin{aligned}\varepsilon &=1+{\frac {N_{v}}{\varepsilon _{0}/\alpha (\omega )-N_{v}/3}}\\&=1+{\frac {N_{v}}{{\frac {\varepsilon _{0}E_{0}}{e}}{\frac {\exp(-\mathrm {i} \omega t)}{x(t)}}-N_{v}/3}}\end{aligned}}$

erhält man: $\varepsilon (\omega )=1+{\frac {N_{v}e^{2}}{\varepsilon _{0}m}}\cdot {\frac {1}{\omega _{1}^{2}-\omega ^{2}-\mathrm {i} \beta \omega }}$

mit

• $N_{v}$: Gitteratome pro Volumen (Teilchenzahldichte)
• $\mathrm {i}$: imaginäre Einheit
• $\omega _{1}^{2}=\omega _{0}^{2}-{\frac {1}{3}}N_{v}{\frac {e^{2}}{\varepsilon _{0}m}}$: verschobene Resonanzfrequenz.

Die dielektrische Funktion lässt sich wie folgt in Realteil $\varepsilon '$ und Imaginärteil $\varepsilon ''$ trennen:

$\varepsilon (\omega )\equiv \varepsilon '(\omega )+\mathrm {i} \varepsilon ''(\omega )$

mit

$\varepsilon '(\omega )=1+{\frac {N_{v}e^{2}}{\varepsilon _{0}m}}{\frac {\omega _{1}^{2}-\omega ^{2}}{(\omega _{1}^{2}-\omega ^{2})^{2}+\beta ^{2}\omega ^{2}}}$

und

$\varepsilon ''(\omega )={\frac {N_{v}e^{2}}{\varepsilon _{0}m}}{\frac {\beta \omega }{(\omega _{1}^{2}-\omega ^{2})^{2}+\beta ^{2}\omega ^{2}}}$.

Dielektrische Funktion für Röntgenstrahlung

Die Röntgenstrahlung streut an jedem Elektron im Material. Somit hängt die komplexe dielektrische Funktion $\varepsilon (\omega )$ für Röntgenstrahlung nicht von der Teilchenzahldichte $N_{v}$ ab, sondern von der Elektronendichte $N$.

Die Frequenz $\omega$ der Röntgenstrahlung ist viel höher als alle Resonanzfrequenzen: $\omega \gg \omega _{1}$. Das rechtfertigt die Hochfrequenzentwicklung der dielektrischen Funktion $\varepsilon (\omega )$:

$\varepsilon (\omega )=1+{\frac {Nq^{2}}{\varepsilon _{0}m}}\cdot {\frac {1}{\omega _{1}^{2}-\omega ^{2}-i\beta \omega }}\underbrace {\longrightarrow } _{\omega \gg \omega _{1}}1-{\frac {Nq^{2}}{\varepsilon _{0}m}}\cdot {\frac {1}{\omega ^{2}+i\beta \omega }}=1-{\frac {Nq^{2}}{\varepsilon _{0}m}}\cdot \left({\frac {\omega ^{2}-i\beta \omega }{\omega ^{4}+\beta ^{2}\omega ^{2}}}\right)\approx 1-{\frac {Nq^{2}}{\varepsilon _{0}m}}\cdot {\frac {1}{\omega ^{2}}}+i{\frac {Nq^{2}}{\varepsilon _{0}m}}\cdot {\frac {\beta }{\omega ^{3}}}=\varepsilon ^{\prime }(\omega )\,+\,i\,\varepsilon ^{\prime \prime }(\omega )$

Da die Röntgenstrahlung mit jedem Elektron im Material wechselwirkt, braucht man die Elektronendichte. Pro Atom zeigt die Kernladungszahl $Z$ auch die Anzahl der Elektronen an. Das Atomgewicht $M_{m}\cdot u$ ist das Produkt aus Molmasse $M_{m}$ und der atomaren Masseneinheit $u={\text{1,661}}\cdot 10^{-27}{\text{ kg}}$. Die Atomdichte erhält man aus dem Verhältnis der Materialdichte $\varrho$ und dem Atomgewicht $M_{m}\cdot u$. Für die Elektronendichte $N$ gilt somit:

$N={\frac {\varrho }{M_{m}\cdot u}}\cdot Z={\frac {N_{A}\cdot \varrho }{M_{m}}}\cdot Z,$

denn ${\text{1 kg}}={\text{6,022}}\cdot 10^{26}\cdot u=N_{A}\cdot u$ mit der Avogadrozahl $N_{A}$.

Somit hängt der Realteil der komplexen dielektrischen Funktion $\varepsilon ^{\prime }(\omega )$ für Röntgenstrahlung über

$\varepsilon ^{\prime }(\omega )=1-{\frac {Nq^{2}}{\varepsilon _{0}m}}\cdot {\frac {1}{\omega ^{2}}}<1\qquad {\text{oder}}\qquad \varepsilon ^{\prime }(\lambda )=1-{\frac {N_{A}q^{2}}{4\pi ^{2}\varepsilon _{0}mc^{2}}}\cdot {\frac {Z}{M_{m}}}\cdot \varrho \cdot \lambda ^{2}<1$		(1)

vom Material ab. Der Realteil der komplexen dielektrischen Funktion von Materie ist geringer als diejenige von Vakuum. Mit der Avogadrozahl $N_{A}={\text{6,022}}\cdot 10^{26}{\text{ kmol}}^{-1}$, der elektrischen Feldkonstante $\varepsilon _{0}={\text{8,854}}\cdot 10^{-12}{\text{ Fm}}^{-1}$, der Elektronenmasse $m={\text{9,109}}\cdot 10^{-31}{\text{ kg}}$, der Elementarladung $q={\text{1,602}}\cdot 10^{-19}{\text{ C}}$ und der Lichtgeschwindigkeit $c={\text{2,998}}\cdot 10^{8}{\text{ ms}}^{-1}$ schreibt man Gleichung (1) um in: $1-\varepsilon ^{\prime }={\frac {N_{A}q^{2}}{4\pi ^{2}\varepsilon _{0}mc^{2}}}\cdot {\frac {Z}{M_{m}}}\cdot \varrho \cdot \lambda ^{2}={\text{5,40}}\cdot 10^{11}\cdot {\frac {Z}{M_{m}}}\cdot \varrho \cdot \lambda ^{2}\,{\frac {\text{m}}{\text{kmol}}}$

Abschätzungen der Größenordnung der dielektrischen Funktion von Materie unter Röntgenstrahlung findet man auf der Seite Polarisierbarkeit.