Benutzer:Qcomp/Partielle Transposition

Die partielle Transposition ist eine von der Transpositionsabbildung abgeleitete lineare Abbildung, die für lineare Operatoren auf dem Tensorprodukt von Hilberträumen definiert ist. Jede Abbildung, die auf einer Teilmenge der Tensorfaktoren als Transposition und auf dem Rest als identische Abbildung wirkt, wird als partielle Transposition bezeichnet. Die Abbildung spielt in der Quanteninformatik eine Rolle bei der Identifikation von verschränkten Zuständen.

Definition

Für einen euklidischen Raum ${\cal {H}}$ bezeichnet man als Transposition oder Transpositionsabbildung die lineare Abbildung $T$ , die jedem linearen Operator $X$ auf ${\cal {H}}$ seine Transponierte zuordnet: $T(X)=X^{T}$ , wobei die Transposition mit Bezug zu einer beliebigen, aber festen Basis definiert ist. $X^{T}$ wird auch als partiell Transponierte des Operators $X$ bezeichnet.

Wenn ${\cal {H}}$ ein Tensorprodukt von zwei Räumen ${\cal {H}}_{j},j=1,2$ ist, definiert man die partielle Transposition auf ${\cal {H_{1}}}$ als die Abbildung $T_{1}=T\otimes I$ , wobei $I$ für die identische Abbildung steht.

Wenn der Operator $X$ auf ${\cal {H}}$ bezüglich der Orthonormalbasis $\{a_{n}\otimes b_{m}:n=1,\dots N,m=1,\dots M\}\subset {\cal {H}}$ aus Produktvektoren durch die Matrix $\left(X_{ij,kl}\right)_{i,k=1,\dots N,j,l=1,\dots M}$ beschrieben wird, dann hat der partiell transponierte Operator $X^{T_{1}}$ die Matrix $(X^{T_{1}})_{ij,kl}=X_{kj,il}$ . Analog gehört zum partiell bezüglich des zweiten Faktors transponierten Operator die Matrix $(X^{T_{2}})_{ij,kl}=X_{il,kj}$ .

Eigenschaften

Da die Transpositionsabbildung positiv, aber nicht vollständig positiv ist, ist die partielle Transposition nicht positiv. Das heisst, es gibt positive Operatoren auf ${\cal {H}}$ , für die gilt,dass $X^{T_{1}}$ nicht mehr positiv ist (d.h., negative Eigenwerte hat).

Es gilt, dass $X^{T_{2}}=(X^{T_{1}})^{T}=(X^{T})^{T_{1}}$ .

Verwendung in Kriterien für Verschränktheit und Separabilität

Die partielle Transposition findet in einem häufig verwendeten Separabilitätskriterium Anwendung. Diese Verwendung geht darauf zurück, dass die partielle Transposition zwar keine positive Abbildung ist, aber angewandt auf Produktoperatoren oder deren Konvexkombination die Positivität (positive Definitheit) erhält.^[1] Daher muss eine Dichtematrix $\rho$ , deren partielle Transposition nicht positiv ist, einen verschränkten Zustand beschreiben. Anders ausgedrückt ist es eine notwendige Bedingung für Separabilität $\rho$ , dass $\rho ^{T_{B}}$ positiv ist. Diese Bedingung wird auch als Peres-Horodecki-Kriterium oder als „PPT-Kriterium“ (positive partial transpose) für Separabilität bezeichnet (manchmal auch die Umkehrung als „NPT-Kriterium“ für Verschränkung).

Literatur

J. Watrous: The Theory of Quantum Information. Cambridge University Press, 2018, S. 352 (englisch, uwaterloo.ca [PDF]).

Einzelnachweise

↑ Dies folgt daraus, dass die Transposition eine positive, aber nicht vollständig positive Abbildung ist, vgl. z. B. Teiko Heinosaari, Mário Ziman: The Mathematical Language of Quantum Theory. Cambridge University Press, 2011, S. 177 (englisch, eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

Kategorie:Lineare Algebra Kategorie:Quanteninformatik

[1] Dies folgt daraus, dass die Transposition eine positive, aber nicht vollständig positive Abbildung ist, vgl. z. B. Teiko Heinosaari, Mário Ziman: The Mathematical Language of Quantum Theory. Cambridge University Press, 2011, S. 177 (englisch, eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

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