Benutzer:Qniemiec/Entwürfe

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Zu Rentenrechnung

Hallo, bei der Untersuchung des Verhaltens unterjähriger Ratenzahlungen bin ich auf die folgenden beiden Grenzwerte gestoßen, bei deren Bestimmung ich mir im ersten Fall einigermaßen sicher bin, das korrekte Ergebnis erhalten zu haben:

$\lim _{m\to \infty }{\frac {Z}{m}}\cdot {\frac {(1+{\frac {p}{m}})^{m}-1}{(1+{\frac {p}{m}})-1}}\ {\stackrel {\mathrm {?} }{=}}\ Z\cdot {\frac {\mathrm {e} ^{p}-1}{p}}$

Im zweiten dagegen kam ich erstmal nicht weiter, bis ich's mal mit der Regel von de l'Hospital versucht habe, mir aber nicht 100%ig sicher bin, ob das Ergebnis stimmt:

$\lim _{m\to \infty }{\frac {Z}{m}}\cdot {\frac {(1+p)-1}{{\sqrt[{m}]{(1+p)}}-1}}=\lim _{m\to \infty }Z\cdot p\cdot {\frac {\frac {1}{m}}{{\sqrt[{m}]{(1+p)}}-1}}\ {\stackrel {\mathrm {?} }{=}}\ Z\cdot p$

Zu "Reaktionsenthalpie":

Reaktionsenthalpie

Berechnung

Die Reaktionsenthalpie einer chemischen Reaktion ist die Differenz der Bildungsenthalpien der an ihr beteiligten Produkte und Reaktanten (Edukte), wie sie sich aus deren molaren Standardbildungsenthalpien (in kJ/mol) und den eingesetzten sowie erhaltenen Stoffmengen (in mol) berechnen lassen. Zugrundegelegt wird dabei üblicherweise die gemäß DIN 32642 als "Kardinalgleichung" bezeichnete Reaktionsgleichung mit den kleinsten ganzzahligen stöchiometrischen Koeffizienten, nach DIN 32642 auch "stöchiometrische Zahlen" bzw. umgangssprachlich "Molzahlen" genannt.

4 FeS₂ (s)      +      11 O₂ (g)    $\longrightarrow$    8 SO₂ (g)      +      2 Fe₂O₃

4 Mol Pyrit und 11 Mol Sauerstoff reagieren zu 2 Mol Eisen-III-oxid und 8 Mol Schwefeldioxid bzw.
479,9 g Pyrit und 352,0 g Sauerstoff reagieren zu 319,4 g Eisen-III-oxid und 512,5 g Schwefeldioxid.

Alt: Die Reaktionsenthalpie ist diejenige Energie, die freigesetzt oder benötigt wird, wenn zwischen den Molekülen zweier Stoffe neue chemische Bindungen gebildet werden. Sie ist abhängig von den Reaktionspartnern (Edukte) und der Art der chemischen Bindung im Produkt. Zur Berechnung vergleicht man die Summe der Bildungsenthalpien der Produkte mit der der Edukte. Die Differenz ist die Reaktionsenthalpie, die anschließend durch Bezug auf die Stoffmenge des jeweils interessierenden Produkts standardisiert werden kann:

2 Na (s)      +      Cl₂ (g)    $\longrightarrow$    2 NaCl (s)

2* 0 kJ/mol        0 kJ/mol               2* −411 kJ/mol                  Bildungsenthalpien (25 °C)

$\rightarrow$ Reaktionsenthalpie = 2 mol * (−411 kJ/mol) − 2 mol * 0 kJ/mol − 1 mol * 0 kJ/mol = −822 kJ. Also verläuft die Reaktion exotherm. Division durch die erhaltene Stoffmenge, in diesem Fall 2 Mol Natriumchlorid, liefert dessen (in diesem Beispiel allerdings schon zu Beginn vorausgesetzte) molare Bildungsenthalpie von −411 kJ/mol NaCl (25 °C).

4 FeS₂ (s)      +      11 O₂ (g)    $\longrightarrow$    8 SO₂ (g)      +      2 Fe₂O₃

4* -178 kJ/mol        0 kJ/mol              8* −297 kJ/mol        2* -824kJ/mol         Bildungsenthalpien (25 °C)

$\rightarrow$ Reaktionsenthalpie = 8 mol * (−297 kJ/mol) + 2 mol * (-824 kJ/mol) − 4 mol * (-178 kJ/mol) − 11 mol * 0 kJ/mol = −3312 kJ. Also verläuft die Reaktion exotherm. Division durch die eingesetzte Stoffmenge, in diesem Fall 4 Mol Pyrit, liefert dessen molare „Verbrennungsenthalpie“ von −828 kJ/mol FeS₂ (25 °C).

Siehe auch Enthalpie#Reaktionsenthalpie.

Zu "w:en:Principal curvature#Classification of points on a surface":

• In einem elliptischen Punkt sind beide Hauptkrümmungen zwar möglicherweise verschieden, besitzen aber dennoch dasselbe Vorzeichen, so dass die aus solchen Punkten gebildete Oberfläche lokal konvex ist. Beispiel: Oberfläche eines Ellipsoids.
  • Sonderfälle elliptischer Punkte sind sogen. Nabelpunkte: In einem Nabelpunkt (Umbilicus) sind beide Hauptkrümmungen auch ihrem Zahlenwert nach gleich, so dass jeder Tangentialvektor an einem Nabelpunkt gleichgut als Hauptrichtung gelten kann. Beispiel: Oberfläche einer Kugel.
• In einem parabolischen Punkt ist eine der beiden Hauptkrümmungen gleich Null, so dass parabolische Punkte oft den Übergang zwischen Regionen elliptischer und hyperbolischer Krümmung bilden. Beispiel: Mantelfläche eines Zylinders oder Kreiskegels.
• In einem hyperbolischen Punkt besitzen beide Hauptkrümmungen unterschiedliche Vorzeichen, so dass die aus solchen Punkten gebildete Oberfläche lokal sattelförmig ist. Beispiel: Oberfläche eines Hyperboloids.
  • Sonderfälle hyperbolischen Punkte sind solche mit entgegengesetzt gleichen Vorzeichen, aus denen sich sogen. Minimalflächen zusammensetzen.
• In einem Flachpunkt schließlich sind beide Hauptkrümmungen gleich Null, womit solche Punkte als Grenzfälle bzw. Entartungen aller drei vorgenannten Grundtypen aufgefasst werden können - eine Fläche mit einem isolierten solchen ebenen Nabelpunkt ist der sogen. Affensattel.

Vgl Krümmung#Krümmung einer Fläche und Gaußsche Krümmung#Beispiele mit Formel zum Zusammenhang der Krümmung und 2. partiellen Ableitungen

Siehe auch .

Zu "Newtonsches Gravitationsgesetz":

Indizierung um eins verschoben:

Vektorform

Die allgemeine vektorielle Notation liefert das Gravitations-Kraftfeld, dem eine Punktmasse $m_{0}$ im Feld einer zweiten Punktmasse $m_{1}$ ausgesetzt ist, wie folgt:

${\vec {F}}({\vec {r}}_{0}|{\vec {r}}_{1})={-G}\ m_{0}\cdot m_{1}\ {({\vec {r}}_{0}-{\vec {r}}_{1}) \over |{\vec {r}}_{0}-{\vec {r}}_{1}|^{3}}={-G}\ {m_{0}\cdot m_{1} \over r^{2}}\ {\hat {\vec {r}}}_{10}={-G}\ {m_{0}\cdot m_{1} \over r^{3}}\ {\vec {r}}_{10}$

Hierbei sind ${\vec {r}}_{0}$ und ${\vec {r}}_{1}$ die Ortsvektoren der beiden Massepunkte, $\ r$ der Betrag ihres Abstands sowie ${\hat {\vec {r}}}_{10}$ der Einheitsvektor, der von $m_{1}$ (entlang der Verbindungslinie beider Punkte) in Richtung $m_{0}$ zeigt. Wie zu sehen, können sich beide Massen nur anziehen, da $m_{0}$ und $m_{1}$ stets dasselbe Vorzeichen besitzen und die Kraft ${\vec {F}}$ daher stets die entgegengesetzte Orientierung von ${\hat {\vec {r}}}_{10}$ besitzt.

Verlegt man die Masse $m_{1}$ in den Koordinatenursprung, vereinfacht sich obige Gleichung zu der Formel:

${\vec {F}}({\vec {r}})={-G}\ {m_{0}\cdot m_{1} \over r^{2}}\ {\hat {\vec {r}}}={-G}\ {\frac {m_{0}\cdot m_{1}}{r^{2}}}\ {{\vec {r}} \over r}={-G}\ {\frac {m_{0}\cdot m_{1}}{r^{3}}}\ {\vec {r}}$

mit ${\hat {\vec {r}}}$ als dem Einheitsvektor, der vom Koordinatenursprung in Richtung des Mittelpunkts von $m_{0}$ zeigt. Weiter ist dann

${\vec {g}}({\vec {r}})={-G}\ {\frac {m_{1}}{r^{2}}}\ {\hat {\vec {r}}}={-G}\ {\frac {m_{1}}{r^{3}}}\ {\vec {r}}$

der Vektor der Feldstärke des von der Zentralmasse $m_{1}$ erzeugten Gravitationsfelds (s.u.) an der Stelle ${\vec {r}}$, d.h. im Abstand $\ r$ vom Ursprung.

Die in den obigen Gleichungen auftretende Konstante G wird auch als Gravitationskonstante bezeichnet. In SI-Einheiten beträgt ihr aktuell gültiger Wert:

$G=6{,}674\,28(67)\cdot 10^{-11}\,\mathrm {\frac {m^{3}}{kg\cdot s^{2}}} =6{,}674\,28(67)\cdot 10^{-11}\,\mathrm {\frac {N\cdot m^{2}}{kg^{2}}}$

Gravitationsfeld

Das Gravitationsfeld ist ein Vektorfeld, das für alle Punkte im Raum die an der jeweiligen Stelle auf ein Objekt wirkende Gravitationsbeschleunigung angibt. Ruht die das Feld erzeugende Punktmasse M im Koordinatenursprung (0|0|0), kann es, wie schon weiter oben erläutert, durch folgende Gleichung beschrieben werden, in der der Feldstärkevektor ${\vec {g}}({\vec {r}})$ nun stets in Richtung des Koordinatenursprungs zeigt:

${\vec {g}}({\vec {r}})=-G\,{\frac {M}{r^{2}}}\,{\vec {\hat {r}}}=-G\,M{\frac {\vec {r}}{r^{3}}}$,

Im Fall mehrerer über den Raum verteilter Punktmassen m₁…m_n dagegen kompliziert sich die Situation, und das Gesamtfeld der auf die Masse m an der Stelle (x|y|z) wirkenden Gravitationsbeschleunigung ergibt sich nun als die Vektorsumme der einzelnen Felder gemäß folgender Gleichung:

${\vec {g}}({\vec {r}}|{\vec {r}}_{1},\ldots ,{\vec {r}}_{n})=-G\sum _{i=1}^{n}{m_{i}}\,{\frac {({\vec {r}}-{\vec {r}}_{i})}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}_{i}|^{3}}}$

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Zu "Energiegleichungen":

Vorzeichen- und Rechenregeln

Für die Beschreibung der energetischen Aspekte eines physikalischen oder chemischen Vorgangs gelten ähnliche Regeln wie im Umgang mit mathematischen Gleichungen, und so ist es etwa beim Aufstellen von Reaktionsgleichungen in der Chemie inzwischen vielfach üblich, auch die bei der betreffenden Reaktion freigesetzte oder umgekehrt von ihr "verbrauchte" Energie mit als Reaktionspartner aufzuführen:

Beispiel

${\text{Stoff 1 + Stoff 2}}\rightarrow {\text{Stoff 3 + 300 kJ}}$

${\text{Stoff 3 + 300 kJ}}\rightarrow {\text{Stoff 4 + Stoff 5}}$

Reaktionsgleichungén der zweiten Form sind dabei allerdings nur selten anzutreffen, da es die vorherrschende Praxis ist, die Energiebilanz wie im Fall der exergen ersten Reaktion stets erst am Ende, d.h. auf der rechten Seite der Reaktionsgleichung, anzugeben:

${\text{Stoff 3}}\rightarrow {\text{Stoff 4 + Stoff 5 - 300 kJ}}$

Wie zu sehen, ist die zuletzt formulierte Gleichung der vorherigen äquivalent, da es genügt, auf ihren beiden Seiten dieselbe "investierte" Energie zu addieren, um die vorherige Gleichung zu erhalten.

Analoge Gleichungen ließen sich (wenn auch kaum so praktiziert) in der Physik aufstellen, etwa:

${\text{Fahrstuhl im Erdgeschoss + 300 kJ}}\rightarrow {\text{Fahrstuhl im 2. Stock}}$

oder

${\text{Fahrstuhl im Erdgeschoss}}\rightarrow {\text{Fahrstuhl im 2. Stock - 300 kJ}}$

Energien mit negativem Vorzeichen finden sich aber auch anderswo, etwa bei der Untersuchung des elektrischen und des Gravitationsfelds.

Um einen einheitlichen Bezugspunkt zu haben (und auch, um sich eine Reihe rechnerischer Komplikationen zu ersparen), wurde festgelegt, dass die potentielle Energie einer von der jeweiligen Zentralmasse M unendlich weit entfernten, also praktisch nicht mehr von M angezogenen Probemasse m gleich Null sein soll, ebeno wie die potentielle Energie einer von der betreffenden Zentralladung Q unendlich weit entfernten, also praktisch nicht mehr von ihr angezogenen ungleichnamigen Probeladung -q. Gleiches sollte schließlich auch für gleichnamige Probeladungen +q gelten, mit dem Unterschied, dass diese im Unendlichen praktisch nicht mehr von der Ladung Q abgestoßen werden (was für ihre potentielle Energie auf dasselbe hinausläuft wie zuvor).

Zu "Potential":

Beispiele von Potentialen und Potentialfeldern in der Physik. Potentiale (Skalarfelder gelb): V_G - Gravitationspotential; W_pot - potentielle Energie; V_C - Coulomb-Potential; Potentialfelder (Vektor- bzw. Gradientenfelder cyan): a_G - Gravitationsbeschleunigung; F - Kraft; E - elektrische Feldstärke

Der Begriff Potential bezeichnet in der Physik zum einen das Vermögen eines konservativen Kraftfelds, einen ihm ausgesetzten Körper eine Arbeit verrichten zu lassen, ausgedrückt durch das Verhältnis dieser Arbeit zur Masse bzw. Ladung des Körpers, zum anderen die Beschreibung dieses Vermögens mit Hilfe eines skalaren Felds.

Ordnet man jedem Punkt im Wirkungsbereich eines konservativen Kraftfelds die potentielle Energie $W_{pot}$ zu, die eine Probemasse m bzw. Probeladung q an dieser Stelle gegenüber einem Bezugspunkt im Raum, z.B. dem Mittelpunkt der das Feld erzeugenden zweiten M bzw. zweiten Ladung Q, besäße, erhält man ein skalares Energiefeld $W_{pot}({\vec {r}})$ bezüglich dieses Bezugspunkts, dessen Division durch m bzw. q das von Betrag und Vorzeichen beider Größen unabhängige, ebenfalls skalare Potentialfeld oder Potential $V({\vec {r}})\,$ liefert:

Die Fähigkeit eines konservativen Kraftfelds, einen Probekörper Arbeit verrichten zu lassen, ausgedrückt durch das Verhältnis seiner potentiellen Energie $W_{pot}({\vec {r}})$ in dem betreffenden Raumpunkt ${\vec {r}}$ zur Bezugsgröße des betreffenden Kraftfelds m bzw. q, wird Potential von ${\vec {r}}$ genannt, geschrieben $V({\vec {r}})\,$. Handelt es sich um ein Potential bezüglich der Masse, spricht man von einem Gravitationspotential, bei einem Potential bezüglich der Ladung dagegen von einem Coulombpotential.

Potential im elektrischen Feld

Das Potential in einem Punkt des elektrischen Feldes ist die Arbeit, die von außen geleistet werden muß, um die positive elektrostatische Einheit der Ladung vom Erdboden (oder aus dem Unendlichen) bis an diesen Punkt zu bringen.

beziehungsweise

Das Potential in einem Punkt des elektrischen Feldes wird gemessen durch die potentielle Energie, die die positive elektrostatische Einheit der Ladung in diesem Punkt besitzt.

$-\int _{\infty }^{x}F\cdot \mathrm {d} {r}=-\int _{\infty }^{x}{\frac {k}{r^{2}}}\cdot d{r}=-\left\lbrack {\frac {-k}{r}}\right\rbrack _{\infty }^{x}={\frac {k}{r}}$

Potentialdifferenz

Die Potentialdifferenz zwischen zwei verschiedenen Punkten des Kraftfelds wird im Fall des Gravitationsfeldes als Gravitationsspannung bezeichnet , gemessen in J/kg, im Fall des elektrischen Feldes dagegen als elektrische Spannung, gemessen in Volt.

Spannungsabfall

Der Spannungsabfall $U_{AB}$ innerhalb eines elektrischen Feldes gibt an, um welchen Betrag das elektrische Potential $V({\vec {r}})$ abnimmt bzw. abfällt, wenn man sich in dem fraglichen Feld vom Punkt A zum Punkt B bewegt.

Vorausgesetzt wird dabei stillschweigend, dass Punkt A in diesem Fall bei einem positiven Spannungsabfall auch stets ein höheres Potential besitzt als Punkt B, was sich damit deckt, dass der elektrische Strom stets von Orten höheren nach Orten niedrigeren Potentials fließt, also in Richtung der elektrischen Feldstärke bzw. vom Plus- zum Minuspol (während die Elektronen selbst umgekehrt in Richtung zunehmenden Potentials bzw. abnehmenden negativen Potentials fließen).

Um den Spannungs–, genauer gesagt Potentialabfall, längs eines Potentialgefälles stets positiv werden zu lassen, wird nicht, wie sonst bei der Bildung von Differenzen üblich, das Anfangs- vom Endpotential abgezogen, sondern umgekehrt das (in der geschilderten Situation stets niedrigere) Endpotential vom (in diesem Fall stets höheren) Ausgangspotential:

$U_{AB}=V({\vec {r}}_{A})-V({\vec {r}}_{B})=-(V({\vec {r}}_{B})-V({\vec {r}}_{A}))$

Analog zeigt auch der Richtungspfeil zunehmenden Spannungsabfalls $U_{AB}$ stets vom höheren zum niedrigeren Potential, also wie die Richtung des elektrischen Felds von Plus nach Minus, womit sich seine Polarität bzw. sein Vorzeichen mit der des Produkts R·I deckt.

Siehe auch

• Potentielle Energie
• Potential - im engeren und ursprünglich-physikalischen Sinn die Fähigkeit eines konservativen Kraftfelds, einen ihm ausgesetzten Probekörper eine Arbeit verrichten zu lassen, ausgedrückt durch das Verhältnis seiner potentiellen Energie (an der betreffenden Stelle) zu seiner Masse bzw. elektrischen Ladung; im weiteren Sinn eine skalare Feldgröße, die sich mathematisch wie ein Potential im ursprünglich-physikalischen Sinn verhält, also außer den eigentlichen Potentialen – dem elektrischen und Gravitationspotential – auch z.B. die potentielle Energie in einem konservativen Kraftfeld selbst oder das Strömungs- oder Geschwindigkeitspotential einer Flüssigkeitsströmung.
  Im noch weiteren, speziell mathematischen Kontext ein Skalar– oder Vektorfeld mit bestimmten mathematischen Eigenschaften. dementsprechend als Skalar– oder Vektorpotential bezeichnet.
  • Potential#Potentielle Energie und Potential
  • Potentialströmung#Kraftpotential (Beschleunigungspotential)
• Potentialfeld - Synonym für ein aus einem Skalarpotential $\Phi ({\vec {r}})$ durch Ableitung nach dem Raum gewonnenes Gradientenfeld.
• Potentialvektor - Synonym für einen Gradientvektor.
• Gradientenfeld - das aus einem Skalarpotential $\Phi ({\vec {r}})$ durch Ableitung nach dem Raum gewonnene Vektorfeld
  ${\vec {F}}({\vec {r}})={\vec {\nabla }}\Phi ({\vec {r}})$.
  Achtung: Die Symbole Φ und F werden in obiger Definition nur generalisierend verwendet, F steht also nicht zwangsläufig für eine physikalische Kraft.
• Gradientvektoren - Vektoren, aus dem sich ein Gradientenfeld zusammensetzt , äquivalente Formulierung: "Gradient von (skalare Feldgröße)"
• Gradient (Mathematik) - mathematischer Operator, der mittels des Nabla-Operators aus einer skalaren Feldgröße einen Gradientvektor bzw. aus einem skalaren Feld ein Gradientenfeld erzeugt. Sollte daher sprachlich stets zusammen mit der skalaren Feldgröße benutzt werden, auf die er angewandt wurde, z.B. "Gradient der Energie", "Gradient des Potentials", "Gradient von …" usw.

Verwandte Begriffe

• Konservative Kraft - Kraft, die längs eines in sich geschlossenen Wegs (innerhalb eines konservativen Kraftfelds) keinerlei Arbeit verrichtet, z.B. die Gravitations- oder Coulombkraft – jede an einer Stelle des Wegs „investierte“ Energie wird dabei an irgendeiner anderen Stelle des Wegs wieder zurückgewonnen. Gegenteil: dissipative Kräfte, die, selbst wenn man am Ende des Weges zum Ausgangspunkt zurückkehrt, dabei umso mehr Arbeit verrichten, je länger der Weg ist, z.B. die Reibungskraft.
• Schweregradient - Änderung der Erdbeschleunigung pro Höhenmeter.
• Gezeitenkräfte - Kräfte innerhalb eines einem Schweregradienten ausgesetzten Körpers, i.d.R. solche, die ihn in Richtung des Gradienten auseinander ziehen.

Übersicht

M>0, m>0	Q<0, q>0	Q<0, q<0	Q>0, q<0	Q>0, q>0
${\begin{aligned}&{\vec {r}}\rightarrow \\&{\vec {\nabla }}V\rightarrow \\\leftarrow &{\vec {a}}_{G}\\\leftarrow &{\vec {F}}_{G}\ \end{aligned}}$	${\begin{aligned}&{\vec {r}}\rightarrow \\&{\vec {\nabla }}V\rightarrow \\\leftarrow &{\vec {E}}\\\leftarrow &{\vec {F}}_{C}\ \end{aligned}}$	${\begin{aligned}&{\vec {r}}\rightarrow \\&{\vec {\nabla }}V\rightarrow \\\leftarrow &{\vec {E}}\\&{\vec {F}}_{C}\rightarrow \ \end{aligned}}$	${\begin{aligned}&{\vec {r}}\rightarrow \\\leftarrow &{\vec {\nabla }}V\\&{\vec {E}}\rightarrow \\\leftarrow &{\vec {F}}_{C}\ \end{aligned}}$	${\begin{aligned}&{\vec {r}}\rightarrow \\\leftarrow &{\vec {\nabla }}V\\&{\vec {E}}\rightarrow \\&{\vec {F}}_{C}\rightarrow \ \end{aligned}}$