Benutzer:RKSimulant/Kontinuumsmechanik

Kinematik – Beschreibung von Deformation

Ausgangspunkt der Kontinuumsmechanik ist die mathematische Beschreibung von Verzerrungen und Spannungen.

Die in der Kontinuumsmechanik grundlegende Größe, auf der alle Beschreibungen von Deformationen und daraus resultierenden Reaktionen eines Körpers beruhen, ist der Deformationsgradient. Dieser ist ein Tensor und kann als Abbildung materieller Punkte von einer Konfiguration in eine andere betrachtet werden. Mithilfe des Deformationsgradienten werden verschiedene Verzerrungsmaße als Verzerrungstensoren definiert. Ausgangspunkt der Kontinuumsmechanik ist somit die mathematische Beschreibung von Verzerrungen und Spannungen.

Ein Spezialfall der elastischen Verformung ist die Dehnung eines Stabs in Längsrichtung. Naiv könnte man meinen, dass sich dieser Spezialfall eindimensional durch einen linearen Zusammenhang zwischen ausgeübter Kraft und resultierender Längenänderung beschreiben lässt. Tatsächlich aber führt die ausgeübte eindimensionale Belastung bereits zu einer mehrdimensionalen Verzerrung, da sich auch der Durchmesser des Stabs ändert (Querkontraktion). Deshalb ist selbst in den einfachsten Fällen eine dreidimensionale, tensorielle Beschreibung von Verzerrungen erforderlich.

Für die Herleitung der kinematischen Größen wird in der Kontinuumsmechanik davon ausgegangen, dass der gesamte Bewegungsablauf des Körpers bekannt ist. Die Bewegungsfunktion $\mathbf {x} ={\boldsymbol {\chi }}(\mathbf {X} ,t)$ weißt jedem materiellen Punkt, gegben durch sein Position in der Referenzkonfiguration $\mathbf {X}$, eine Position in $\mathbf {x}$ in der aktuellen Konfiguration zum Zeitpunkt $t$ zu. Alternativ kann die Bewegung des Körpers durch den Verschiebungsvektor $\mathbf {u} =\mathbf {x} -\mathbf {X}$ beschrieben werden.

Durch Ableitung der Bewegungsfunktion nach der Referenzkonfiguration lässt sich der Deformationsgradient $\mathbf {F}$ ermitteln:

$\mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \,{\boldsymbol {\chi }}(\mathbf {X} ,t)}{\mathrm {d} \mathbf {X} }}={\frac {\mathrm {d} \,\mathbf {x} }{\mathrm {d} \mathbf {X} }}=\mathbf {I} +{\frac {\mathrm {d} \,\mathbf {u} }{\mathrm {d} \mathbf {X} }}.$

Der Deformationsgradient lässt sich durch polare Zerlegung in einen orthogonalen Rotationstensor $\mathbf {R}$ und einen symmetrischen, positiv definiten 'rechten' bzw. 'linken' Strecktensor $\mathbf {U}$ bzw. $\mathbf {V}$ aufteilen

$\mathbf {F} =\mathbf {R} \mathbf {U} =\mathbf {V} \mathbf {R} \,.$

Dabei beinhaltent der Rotationstensor die lokalen Rotationen des Körpers und die Strecktensoren beschreiben die lokalen Deformation des Körpers. Aus dem Deformationsgradienten können die Cauchy-Green Deformationstensoren $\mathbf {B}$ und $\mathbf {C}$ abgeleitet

${\begin{array}{rll}\mathbf {C} &=\mathbf {F} ^{T}\mathbf {F} =(\mathbf {R} \mathbf {U} )^{T}\mathbf {R} \mathbf {U} =\mathbf {U} ^{T}\mathbf {R} ^{T}\mathbf {R} \mathbf {U} =\mathbf {U} ^{T}\mathbf {U} &{\text{rechter Cauchy-Green Deformationstensor}}\\\mathbf {B} &=\mathbf {F} \mathbf {F} ^{T}=\mathbf {V} \mathbf {R} (\mathbf {V} \mathbf {R} )^{T}=\mathbf {V} \mathbf {R} \mathbf {R} ^{T}\mathbf {V} ^{T}=\mathbf {V} \mathbf {V} ^{T}&{\text{linker Cauchy-Green Deformationstensor}}\end{array}}$

Für ingenieurtechnische Anwendungen wünscht man gewöhnlich allerdings Größen, die bei Nicht-Deformation eine Null darstellen. Dies führt auf Definitionen des Green-Lagrangen Verzerrungstensors

$\mathbf {E} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {C} -\mathbf {I} )$

oder des Euler-Almansi-Verzerrungstensors

$\mathbf {e} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {I} -\mathbf {B} ^{-1})$.

Setzt man den Deformationsgradienten ein erhält man

$\mathbf {E} ={\frac {1}{2}}{\Bigl [}{\Bigl (}\mathbf {I} +{\frac {\mathrm {d} \,\mathbf {u} }{\mathrm {d} \mathbf {X} }}{\Bigr )}{}^{T}{\Bigl (}\mathbf {I} +{\frac {\mathrm {d} \,\mathbf {u} }{\mathrm {d} \mathbf {X} }}{\Bigr )}-\mathbf {I} {\Bigr ]}={\frac {1}{2}}{\Bigl [}{\Bigl (}{\frac {\mathrm {d} \,\mathbf {u} }{\mathrm {d} \mathbf {X} }}{\Bigr )}{}^{T}+{\frac {\mathrm {d} \,\mathbf {u} }{\mathrm {d} \mathbf {X} }}+{\Bigl (}{\frac {\mathrm {d} \,\mathbf {u} }{\mathrm {d} \mathbf {X} }}{\Bigr )}{}^{T}{\frac {\mathrm {d} \,\mathbf {u} }{\mathrm {d} \mathbf {X} }}{\Bigr ]}$

Für kleine Verschiebungen kann der letzte Term vernachlässigt werden. Dadurch erhält man den linearesierten Verzerrungstensor

${\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{2}}{\Bigl [}{\Bigl (}{\frac {\mathrm {d} \,\mathbf {u} }{\mathrm {d} \mathbf {X} }}{\Bigr )}{}^{T}+{\frac {\mathrm {d} \,\mathbf {u} }{\mathrm {d} \mathbf {X} }}{\Bigr ]}={\begin{pmatrix}\varepsilon _{xx}&\varepsilon _{xy}&\varepsilon _{xz}\\\varepsilon _{yx}&\varepsilon _{yy}&\varepsilon _{yz}\\\varepsilon _{zx}&\varepsilon _{zy}&\varepsilon _{zz}\end{pmatrix}},$

mit den Komponenten

${\begin{matrix}&\varepsilon _{xx}={\frac {\partial u_{x}}{\partial X_{x}}},\;\varepsilon _{yy}={\frac {\partial u_{y}}{\partial X_{y}}},\;\varepsilon _{zz}={\frac {\partial u_{z}}{\partial X_{z}}},\;\varepsilon _{xy}=\epsilon _{yx}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial X_{y}}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial X_{x}}}\right),\\&\varepsilon _{yz}=\epsilon _{zy}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial X_{z}}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial X_{y}}}\right),\;\varepsilon _{zx}=\epsilon _{xz}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{z}}{\partial X_{x}}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial X_{z}}}\right).\end{matrix}}$

Weiter werden über dem Körper mithilfe von Integralsätzen Feldgrößen, wie Kräfte oder Wärmeströme bilanziert und daraus Bilanzgleichungen für die Flussgrößen abgeleitet. Ein Beispiel für Bilanzgleichungen ist das klassische Kräftegleichgewicht, welches sowohl mit Bezug auf die Momentankonfiguration, als auch mit Bezug auf die Referenzkonfiguration aufgestellt werden kann. Nur aus Bilanzgleichungen und kinematischen Beziehungen lässt sich das Verhalten eines Materials nicht beschreiben. Für eine Beziehung zwischen bilanzierten Feldgrößen und Verzerrungskinematik ist ein Materialgesetz erforderlich. Im einfachen linear-elastischen Fall ist dies das Hookesche Gesetz.