Benutzer:Svebert/Werkstatt2

Bronstein:

• Parsevalsche Formel:

$\int _{-\infty }^{\infty }|f(t)|^{2}{\mbox{d}}t={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|F(\omega )|^{2}{\mbox{d}}\omega$ falls $f(t)$ und ihr Quadrat im Intervall $(-\infty ,\infty )$ integrierbar sind.

• Parsevalsche Gleichung I

Sei $f(x)$ durch eine trigonometrische Summe $s_{n}(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{n}a_{k}\cos k\omega x+\sum _{k=1}^{n}b_{k}\sin k\omega x$ auch Fourier-Summe genannt, angenähert. Die Fourier-Summe konvergiert im Mittel gegen die Funktion $f(x)$, d.h. es gilt $\int _{0}^{T}[f(x)-s_{n}(x)]^{2}{\mbox{d}}x\to 0$ für $n\to \infty$, wenn die Funktion beschränkt und im Intervall $0<x<T$ stückweise stetig ist. Aus der Konvergenz im Mittel folgt die Parsevalsche Gleichung ${\frac {2}{T}}\int _{0}^{T}[f(x)]^{2}{\mbox{d}}x={\frac {a_{0}^{2}}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }(a_{k}^{2}+b_{k}^{2})$.

• (Parsevalsche Gleichung II

Wenn das Integral auf der linken Seite einen Sinn hatm dann gilt stets $\int _{a}^{b}[g(x)]^{2}\varrho (x){\mbox{d}}x=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}^{2}$), siehe S. 534

• Parsevalsche Gleichung III

Ist $(\beta _{n}(y))$ ein Orthonormalsystem und $\psi (y)\in L^{2}[a,b]$, dann heißt die Reihe $\sum _{j=1}^{\infty }d_{j}\beta _{j}(y)=\psi (y)$ die Fourierreihe von $\psi (y)$ bezüglich $(\beta _{n}(y))$, und die Zahlen $d_{j}$ sind die zugehörigen Fourier-Koeffizienten. Für diese gilt auf Grund von $\int _{a}^{b}\beta _{i}(y)\beta _{j}(y){\mbox{d}}y={\begin{array}{c}1{\mbox{ für }}i=j\\0{\mbox{ für }}i\neq j\end{array}}$ (Orthogonalität) $\int _{a}^{b}\beta _{k}(y)\psi (y){\mbox{d}}y=\sum _{j=1}^{\infty }d_{j}\int _{a}^{b}\beta _{j}(y)\beta _{k}(y){\mbox{d}}y=d_{k}$. Ist $(\beta _{n}(y))$ vollständig, dann gilt die Parsevalsche Gleichung $\int _{a}^{b}|\psi (y)|^{2}{\mbox{d}}y=\sum _{j=1}^{\infty }|d_{j}|^{2}$

• Parsevalsche Gleichung IV

Im Hilbertraum. $x\in H$. Wenn $x$ die Darstellung $\sum _{n=1}^{\infty }\alpha _{n}e_{n}=x$ hat, dann sind $\alpha _{n}$ die Fourierkoeffizienten von x. Ist $\{\alpha _{n}\}_{n=1}^{\infty }$ eine beliebige Zahlenfolge mit der Eigenschaft $\sum _{n=1}^{\infty }|\alpha _{n}|^{2}<\infty$, dann existiert in H genau ein Element $x$, dessen Fourier-Koeffizienten gerade die Zahlen $\alpha _{n}$ sind und für das die Abgeschlossenheitsrelation oder Parsevalsche Gleichung $\sum _{n=1}^{\infty }|(x,e_{n})|^{2}=\sum _{n=1}^{\infty }|\alpha _{n}|^{2}=||x||^{2}$ gilt (Satz von Riesz-Fischer)

Beweis der Parsevalschen Formel

• Bei Asymmetrische und Symmetrischer Verteilung von $1/(2\pi )$ gilt

Es soll $\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\omega )g(\omega ){\mbox{d}}\omega =\int _{-\infty }^{\infty }f(t){\hat {g}}(t){\mbox{d}}t$ bewiesen werden. $\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\omega )g(\omega ){\mbox{d}}\omega =\int _{-\infty }^{\infty }\left(\int _{-\infty }^{\infty }f(t)g(\omega )\exp(-i\omega t){\mbox{d}}\eta \right){\mbox{d}}\omega =\int _{-\infty }^{\infty }\left(\int _{-\infty }^{\infty }f(t)g(\omega )\exp(-i\omega t){\mbox{d}}\omega \right){\mbox{d}}t=\int _{-\infty }^{\infty }f(t){\hat {g}}(t){\mbox{d}}\eta$ (Warum darf Integration vertauscht werden???)

• Um nun zum "normalen" Satz von Parseval zukommen muss man $g(\omega )={\hat {f}}(\omega )^{*}$ setzen. Es gilt: $FT[g]={\hat {g}}$ und $FT^{-1}[{\hat {g}}]=g$.
• Bei symmetrischer Verteilung gilt $f(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\omega )e^{i\omega t}{\mbox{d}}t={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }g(\omega )e^{i\omega t}{\mbox{d}}t={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\infty }^{-\infty }g(\omega )e^{-i\omega t}(-{\mbox{d}}t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }g(\omega )e^{-i\omega t}{\mbox{d}}t={\hat {g}}(t)$.
• Bei asymmetrischer Verteilung gilt: $f(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\omega )e^{i\omega t}{\mbox{d}}t={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }g(\omega )e^{i\omega t}{\mbox{d}}t={\frac {1}{2\pi }}\int _{\infty }^{-\infty }g(\omega )e^{-i\omega t}(-{\mbox{d}}t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }g(\omega )e^{-i\omega t}{\mbox{d}}t={\frac {1}{2\pi }}{\hat {g}}(t)$
• Dies führt zu $||g||^{2}=||{\hat {g}}||^{2}$ bei symmetrischer Verteilung
• Dies führt zu $||g||^{2}={\frac {1}{2\pi }}||{\hat {g}}||^{2}$ bei asymmetrischer Verteilung