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Eine Cartan-Unteralgebra
H
{\displaystyle H}
L
{\displaystyle L}
1) nilpotent ist:
[
X
1
,
[
X
2
,
[
⋯
[
X
n
,
Y
]
⋯
]
]
=
a
d
X
1
a
d
X
2
⋯
a
d
X
n
Y
=
0
{\displaystyle [X_{1},[X_{2},[\cdots [X_{n},Y]\cdots ]]=\mathrm {ad} _{X_{1}}\mathrm {ad} _{X_{2}}\cdots \mathrm {ad} _{X_{n}}Y=0}
∀
X
1
,
X
2
,
…
,
X
n
,
Y
∈
g
,
(
1
)
{\displaystyle \forall X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n},Y\in {\mathfrak {g}},\qquad (1)}
so das
a
d
X
1
a
d
X
2
⋯
a
d
X
n
=
0
{\displaystyle ad_{X_{1}}ad_{X_{2}}\cdots ad_{X_{n}}=0}
2) selbst-normalisierend ist: das heisst für den Normalisator von
H
{\displaystyle H}
L
{\displaystyle L}
N
L
(
H
)
=
H
{\displaystyle N_{L}(H)=H}
Sei
L
{\displaystyle L}
H
{\displaystyle H}
L
{\displaystyle L}
L
{\displaystyle L}
H
{\displaystyle H}
Da
H
{\displaystyle H}
Gewichtsraum-Zerlegung
L
=
⨁
λ
L
λ
{\displaystyle L=\bigoplus \limits _{\lambda }L_{\lambda }}
wobei
L
λ
=
{
x
∈
L
:
für jedes
h
∈
H
existiert ein
n
so dass
(
a
d
h
−
λ
(
h
)
1
)
n
x
=
0
}
.
{\displaystyle L_{\lambda }=\{x\in L:{\text{für jedes }}h\in H{\text{ existiert ein }}n{\text{ so dass }}(adh-\lambda (h)1)^{n}x=0\}.}
Es gilt
L
0
=
H
{\displaystyle L_{0}=H}
Sei
Φ
{\displaystyle \Phi }
L
{\displaystyle L}
H
{\displaystyle H}
Die Cartan-Zerlegung von
L
{\displaystyle L}
L
=
H
⊕
(
⨁
α
∈
Φ
L
α
)
{\displaystyle L=H\oplus \left(\bigoplus \limits _{\alpha \in \Phi }L_{\alpha }\right)}
L
α
{\displaystyle L_{\alpha }}
Wurzelraum von
α
{\displaystyle \alpha }
[ 1]
↑ Carter, R.: Lie Algebras of Finite and Affine Type . In: Cambridge University Press (Hrsg.): Cambridge Studies in Advanced Mathematics . 2005, doi :10.1017/CBO9780511614910
![{\displaystyle [X_{1},[X_{2},[\cdots [X_{n},Y]\cdots ]]=\mathrm {ad} _{X_{1}}\mathrm {ad} _{X_{2}}\cdots \mathrm {ad} _{X_{n}}Y=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/556c5faf7eee2fcd7e2183366ee7974b037c5e2d)
