Benutzer:Tensorproduct/Colombeaus verallgemeinerte Funktion

Die Colombeaus verallgemeinerten Funktionen sind verallgemeinerte Funktionen, welche den Begriff der Distribution verallgemeinert, so dass diese multipliziert werden können und eine Algebra bilden, genannt Colombeau-Algebra

Sei $f_{\varepsilon }$ die Faltung bezüglich eines Glättungskern $\rho _{\varepsilon }$

f_{\varepsilon }(x)=(f*\rho _{\varepsilon })(x)=\int _{\Omega }f(x-y)\rho _{\varepsilon }\mathrm {d} y

Sei ${\mathcal {E}}_{M}$ der Raum der geglätteten Folgen (englisch mollified sequences)

{\mathcal {E}}_{M}:=\{(f_{\varepsilon })_{\varepsilon }\}

und

{\mathcal {N}}:=\{f_{\varepsilon }(x)-f(x)={\mathcal {O}}(\varepsilon ^{q})\}\in {\mathcal {N}}

Dann heisst die Quotienten-Algebra

{\mathcal {G}}:={\mathcal {E}}_{M}/{\mathcal {N}}.

'Colombeau Algebr. Die Elemente $g\in {\mathcal {G}}$ heissen Colombeaus verallgemeinerten Funktionen