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Matrixvariate sphärische Verteilung
Sei
O
(
n
)
{\displaystyle O(n)}
orthogonale Gruppe . Eine
p
×
n
{\displaystyle p\times n}
Zufallsmatrix
X
{\displaystyle X}
1) links-sphärischen Verteilung falls
X
=
d
Γ
X
,
∀
Γ
∈
O
(
p
)
{\displaystyle X\;{\stackrel {d}{=}}\;\Gamma X,\;\forall \;\Gamma \in O(p)}
Man schreibt
X
∼
L
S
p
,
n
(
ϕ
)
{\displaystyle X\sim LS_{p,n}(\phi )}
2) rechts-sphärischen Verteilung falls
X
=
d
X
Λ
,
∀
Λ
∈
O
(
n
)
{\displaystyle X\;{\stackrel {d}{=}}\;X\Lambda ,\;\forall \;\Lambda \in O(n)}
Man schreibt
X
∼
R
S
p
,
n
(
ϕ
)
{\displaystyle X\sim RS_{p,n}(\phi )}
3) sphärischen Verteilung falls
X
=
d
Γ
X
Λ
,
∀
Γ
∈
O
(
p
)
,
∀
Λ
∈
O
(
n
)
{\displaystyle X\;{\stackrel {d}{=}}\;\Gamma X\Lambda ,\;\forall \;\Gamma \in O(p),\;\forall \;\Lambda \in O(n)}
Man schreibt
X
∼
S
p
,
n
(
ϕ
)
{\displaystyle X\sim S_{p,n}(\phi )}
Der Parameter
ϕ
{\displaystyle \phi }
X
{\displaystyle X}
Sei
X
{\displaystyle X}
T
{\displaystyle T}
p
×
n
{\displaystyle p\times n}
φ
X
(
T
)
=
E
[
etr
(
l
T
X
′
)
]
=
E
[
etr
(
l
(
T
Λ
)
X
′
)
]
=
φ
X
(
T
Λ
)
,
∀
Λ
∈
O
(
n
)
{\displaystyle \varphi _{X}(T)=\mathbb {E} [\operatorname {etr} (lTX')]=\mathbb {E} [\operatorname {etr} (l(T\Lambda )X')]=\varphi _{X}(T\Lambda ),\quad \forall \Lambda \in O(n)}
und daraus folgt
φ
X
(
T
)
=
ϕ
(
T
T
′
)
{\displaystyle \varphi _{X}(T)=\phi (TT')}
ϕ
{\displaystyle \phi }
Man notiert deshalb
Falls
X
{\displaystyle X}
X
=
d
Γ
X
,
∀
Γ
∈
O
(
p
)
{\displaystyle X\;{\stackrel {d}{=}}\;\Gamma X,\;\forall \;\Gamma \in O(p)}
X
{\displaystyle X}
p
≤
n
{\displaystyle p\leq n}
∀
U
∈
U
p
,
p
{\displaystyle \forall \;U\in {\mathcal {U}}_{p,p}}
∀
V
∈
U
p
,
n
{\displaystyle \forall \;V\in {\mathcal {U}}_{p,n}}
λ
=
diag
(
λ
1
,
…
,
λ
p
)
{\displaystyle \lambda =\operatorname {diag} (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{p})}
X
=
d
U
Λ
V
{\displaystyle X\;{\stackrel {d}{=}}\;U\Lambda V}
U
p
,
n
{\displaystyle {\mathcal {U}}_{p,n}}
Stiefel-Mannigfaltigkeit .
![{\displaystyle \varphi _{X}(T)=\mathbb {E} [\operatorname {etr} (lTX')]=\mathbb {E} [\operatorname {etr} (l(T\Lambda )X')]=\varphi _{X}(T\Lambda ),\quad \forall \Lambda \in O(n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5aaa97b4b70cba5fdbf42ce2b03cf087e4ee82e)
