Benutzer:Tensorproduct/Mittlerer Krümmungsfluss

Der Mittlere Krümmungsfluss (englisch Mean curvature flow) ist ein Begriff aus der geometrischen Analysis und bezeichnet einen geometrischen Fluss einer Hyperfläche in einer riemannschen Mannigfaltigkeit.

Definition

Wir betrachten eine kompakte, glatte Mannigfaltigkeit $M^{n}$ der Dimension $n$ und eine vollständige, glatte Riemannische Mannigfaltigkeit $(N^{n+1},g)$ der Dimension $n+1$ . Weiter sei $f:M^{n}\to (N^{n+1},g)$ eine glatte Immersionen.

Einleitung

Zweite Fundamentalform

Die zweiten Fundamentalform $S=\{h_{ij}\}_{1\leq i,j\leq n}$ ist gegeben durch

h_{ij}=\left\langle \nu ,{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\right\rangle

$\nu$ ist die Einheitsnormale

Hauptkrümmung, mittlere Krümmung, mittlerer Krümmungsvektor

Die Hauptkrümmungen sind durch die Spur der zweiten Fundamentalform $S=h_{ij}$ oder äquivalent durch die Eigenwerte $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}$ der Weingarten-Abbildung $W_{S}$ gegeben.

Die mittlere Krümmung ist die Summe der Hauptkrümmungen (ohne durch $n$ zu teilen)

H=\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{n}=\operatorname {trace} (S)

Mittlerer Krümmungsvektor:

{\vec {H}}=-H\cdot \nu

wobei $\nu$ die Einheitsnormale bezeichnet.

Mittlerer Krümmungsfluss

Wir definieren die Familie glatter Immersionen $f:M^{n}\times [0,T)\to (N^{n+1},g)$ abhängig von einem Zeitparameter $t\in [0,T)$ und schreiben $M_{t}(p):=f(p,t)$ . Die Familie $\{M_{t}\}_{t\in [0,T)}$ ist eine Lösung des mittleren Krümmungsfluss (MKF), wenn $\forall p\in M_{t}$ und $\forall t\in [0,T)$ folgende Evolutionsgleichung gilt

{\frac {\partial f(p,t)}{\partial t}}=H(p,t)\nu (p,t)

wobei $H(p,t)$ die mittlere Krümmung und $\nu (p,t)$ die Einheitsnormale auf $M_{t}$ bezeichnet.