Benutzer:Tensorproduct/Szegős Grenzwertsätze

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Die Grenzwertsätze von Szegő sind Grenzwärtsätze für die Determinante von Toeplitz-Matrizen. Sie spielen eine Rolle in der Theorie der orthogonale Polynome auf dem Einheitskreis $\mathbb {R} /\mathbb {Z}$. Es existieren zahlreiche verwandte Sätze. Sie sind nach Gábor Szegő benannt.

Szegős Grenzwertsätze

Vorbereitung

Betrachte den Einheitskreis $\mathbb {T} =\mathbb {R} /\mathbb {Z}$ und den Raum der positiven, endliche Maße auf $\mathbb {T}$

$M_{+}(\mathbb {T} ):=\{\mu :\mu {\text{ ist positiv}};\;\mu (\mathbb {T} )<\infty \}$

Für $\mu \in M_{+}(\mathbb {T} )$ ist der $n$-te Fourrier-Koeffizienten gegeben als

${\widehat {\mu }}(n):=\int _{\mathbb {T} }e^{-2\pi \mathrm {i} nt}\mathrm {d} \mu (t).$

Definiere die Toeplitz-Matrix:

$D_{n}(\mu )=\det {\begin{pmatrix}{\widehat {\mu }}(0)&{\widehat {\mu }}(1)&\cdots &{\widehat {\mu }}(n)\\{\widehat {\mu }}(-1)&{\widehat {\mu }}(0)&\cdots &{\widehat {\mu }}(n-1)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\widehat {\mu }}(-n)&{\widehat {\mu }}(n-1)&\cdots &{\widehat {\mu }}(0)\\\end{pmatrix}}$

Grenzwertsätze

Szegős Grenzwertsatz

Sei $\lambda$ das Lebesgue-Maß auf $\mathbb {T}$ und definiere die Radon-Nikodým-Dichte $f\geq 0,\ f\in L^{1}(\lambda )$

$f\ \mathrm {d} \lambda :={\frac {\mathrm {d} \mu }{\mathrm {d} \lambda }}\mathrm {d} \lambda$

dann gilt

$\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {D_{n+1}(\mu )}{D_{n}(\mu )}}=\exp \left(\int _{\mathbb {T} }\log f\;\mathrm {d} \lambda \right)$.