Benutzer:Wandynsky/Deformationstheorie

Deformationstheorie ist ein Gebiet der Mathematik, das infinitesimale Eigenschaften von Lösungen von Gleichungen untersucht. Die gegebenen Gleichungen beschreiben hierbei im weitesten Sinne geometrische Objekte, die unter vorgegebenen Bedingungen verformt werden. Anwendungen der Deformationstheorie finden sich sowohl in der algebraischen Geometrie und Darstellungstheorie, sowie in der Störungstheorie und in der Stringtheorie.

Deformationen und flache Morphismen

Flache Familien

Eine flache Familie ist ein flacher Morphismus ${\mathcal {X}}\to {\mathcal {T}}$ über einem gegebenen Basisschema ${\mathcal {T}}$, welches lediglich als Parameterraum dient. In einer Umgebung eines festen Parameters $t\in {\mathcal {T}}$ möchten wir verstehen wie sich die Faser $X_{t}$ unter kleinen Veränderungen des Parameters vehält.

Beispielsweise könnte ${\mathcal {T}}$ ein Modulraum von Varietäten sein und für jeden abgeschlossenen Punkt $t\in {\mathcal {T}}$ ist $X_{t}$ isomorph zur von $t$ klassifizierten Varietät.

Deformationen erster Ordnung

Sei $K$ ein Körper, $X$ ein $K$-Schema und $Y\subset X$ ein abgeschlossenes $K$-Unterschema. Eine Deformation erster Ordnung von $Y$ in $X$ ist ein abgeschlossenes Unterschema

$Y'\subset X':=X\times _{\mathrm {Spec} (K)}\mathrm {Spec} (K[\varepsilon ])$

das flach über $K[\varepsilon ]$ ist und nach Reduktion zu $K$ mit $Y$ übereinstimmt.

Ist $X=\mathrm {Spec} (B)$ affin, so gehört $Y$ zu einem Ideal $I$ von $B$ mit $Y=\mathrm {Spec} (B/I)$. Die Verdickung $X'$ ist dann ebenfalls affin und wird von

$B':=B\otimes _{K}K[\varepsilon ]=B[\varepsilon ]/(\varepsilon ^{2})$

dargestellt. Deformationen $Y'$ korrespondieren genau zu Idealen $I'$ von $B'$, für die gilt:

• $B'/I'$ ist flach über $K[\varepsilon ]$.
• Das Bild von $I'$ in $B=B'/\varepsilon B'$ ist $I$.

Lichtenbaum-Schlessinger-Funktoren

Zur Anwendung in der Deformationstheorie führten 1967 Stephen Lichtenbaum und Michael Schlessinger drei Funktoren $T^{i},i=0,1,2$ ein, die eng mit dem Kotangentialkomplex zusammenhängen. Sie stimmen mit den ersten drei Gruppen der André-Quillen-Kohomologie überein.

Für eine $k$-Algebra $B$ steht die Menge der Deformationen von $B$ über $k[\varepsilon ]$ in Bijektion zu Elementen von $T^{1}(B/K,B)$. Eine affine Varietät $X=\mathrm {Spec} (B)$ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $k$ ist genau dann nichtsingulär, wenn $T^{1}(B/k,M)=0$ für alle $B$-Moduln $M$ gilt. Insbesondere hat $X$ in diesem Fall nur triviale Deformationen erster Ordnung.

Funktorielle Beschreibung

Sei $\mathrm {Art} _{k}$ die Kategorie der lokalen artinschen Algebren über einem Körper $k$. Ein Prädeformationsfunktor ist ein Funktor

$F:\mathrm {Art} _{k}\to \mathrm {Set}$

sodass $F(k)$ genau einen Punkt enthält.

Einfaches Beispiel

Das eine Element in $F(k)$ sei die durch die Gleichung $y=x^{3}$ definierte affine Varietät in der affinen Ebene $\mathbb {A} ^{2}$. Für eine lokale artinsche $k$-Algebra $A$ sei $F(A)$ die Menge der affinen Varietäten in $\mathbb {A} ^{2}$, die nach Reduktion zu $k$ mit $y=x^{3}$ übereinstimmen.

Über dem Ring der dualen Zahlen $k[\varepsilon ]$ sind beispielsweise $y=x^{3}+\varepsilon$ und $y=(x+\varepsilon )^{3}=x^{3}+3x^{2}\varepsilon$ zwei verschiedene Deformationen von $y=x^{3}$.

Schlessingers Kriterium

F hat eine Hülle gdw H1-H3 gelten. F ist pro-darstellbar gdw H1-H4 gelten.

Anwendungen

Dimension des Modulraums ${\mathcal {M}}_{g}$

Die Dimension des Modulsraums ${\mathcal {M}}_{g}$ von Kurven von Geschlecht $g$ kann elementar mittels Deformationstheorie hergeleitet werden.

Es gilt

$\dim({\mathcal {M}}_{g})=\dim H^{1}(C,T_{C})$

für eine beliebige glatte Kurve von Geschlecht $g$, da der Deformationsraum mit dem Tangentialraum $H^{1}(C,T_{C})$ des Modulraums übereinstimmt.

Nach Serre-Dualität gilt

${\begin{aligned}H^{1}(C,T_{C})&\cong H^{0}(C,T_{C}^{*}\otimes \omega _{C})^{\vee }\\&\cong H^{0}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})^{\vee }\end{aligned}}$

Nach dem Satz von Riemann-Roch ist

${\begin{aligned}h^{0}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})-h^{1}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})&=2(2g-2)-g+1\\&=3g-3\end{aligned}}$

Für Kurven von Geschlecht $g\geq 2$ gilt $h^{1}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})=0$, denn

$h^{1}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})=h^{0}(C,(\omega _{C}^{\otimes 2})^{\vee }\otimes \omega _{C})$

ist

${\begin{aligned}{\text{deg}}((\omega _{C}^{\otimes 2})^{\vee }\otimes \omega _{C})&=4-4g+2g-2\\&=2-2g\end{aligned}}$

und es gilt $h^{0}(L)=0$ für Geradenbündel $L$ von negativem Grad. Folglich beträgt die Dimension von ${\mathcal {M}}_{g}$ tatsächlich $3g-3$.

Galois-Deformationen

Ist $\Gamma$ eine Galois-Gruppe oder allgemeiner eine proendliche Gruppe und

${\overline {\rho }}:\Gamma \to \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {F} _{p})$

eine stetige Darstellung von $\Gamma$ über dem endlichen Körper $\mathbb {F} _{p}$, so kann man sich fragen, ob und wenn ja welche, stetigen Darstellungen

$\rho :\Gamma \to \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} _{p})$

existieren, sodass $\rho \mod p\equiv {\overline {\rho }}$ gilt.

Diese Frage kann auf verschiedene Weisen als Deformationsproblem beschrieben werden. Beispielsweise können wir für jeden lokalen artinschen Ring $A$ mit Restklassenkörper $\mathbb {F} _{p}$ die Menge $F(A)$ als die Menge der stetigen Darstellungen

$\rho :\Gamma \to \mathrm {GL} _{n}(A)$

definieren, die modulo $p$ gleich ${\overline {\rho }}$ sind. Der zugehörige Deformationsring $R_{\overline {\rho }}^{\square }$ wird auch der gerahmte Deformationsring von ${\overline {\rho }}$ genannt.

Literatur

• Robin Hartshorne: Lectures on deformation theory
• Schlessinger, Michael (1968), "Functors of Artin rings"