Benutzer:Wandynsky/Mathematik

Beweis für den Wert $\Gamma (1/2)$

Definition:

$\Gamma (x)=\int \limits _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\mathrm {d} t$

Einsetzen für $x=1/2$

$\Gamma (1/2)=\int \limits _{0}^{\infty }t^{-1/2}e^{-t}\mathrm {d} t$

Substitution $t=u^{2}$

$\Gamma (1/2)=\int \limits _{0}^{\infty }(u^{2})^{-1/2}e^{-u^{2}}\mathrm {d} u^{=}\int \limits _{0}^{\infty }u^{-1}e^{-u^{2}}\cdot 2u\mathrm {d} u=2\int \limits _{0}^{\infty }e^{-u^{2}}\mathrm {d} u$

Bestimmen des Integrals:

$\left(\int \limits _{0}^{\infty }e^{-u^{2}}\mathrm {d} u\right)^{2}=\int \limits _{0}^{\infty }e^{-u^{2}}\mathrm {d} u\cdot \int \limits _{0}^{\infty }e^{-v^{2}}\mathrm {d} v=\int \limits _{0}^{\infty }\int \limits _{0}^{\infty }e^{-(u^{2}+v^{2})}\mathrm {d} u\mathrm {d} v$

Substitution: $u=r\cos \varphi$ und $v=r\sin \varphi$ und Umschreiben des zweidimensionalen Integrals auf Polarkoordinaten:

$\int \limits _{0}^{\infty }\int \limits _{0}^{\infty }e^{-(u^{2}+v^{2})}\mathrm {d} u\mathrm {d} v=\int \limits _{0}^{\infty }\int \limits _{0}^{\pi /2}e^{-((r\cos \varphi )^{2}+(r\sin \varphi )^{2})}\cdot r\cdot \mathrm {d} \varphi \mathrm {d} r=\int \limits _{0}^{\infty }\int \limits _{0}^{\pi /2}e^{-r^{2}}\cdot r\cdot \mathrm {d} \varphi \mathrm {d} r={\frac {\pi }{2}}\int \limits _{0}^{\infty }r\cdot e^{-r^{2}}\mathrm {d} r$

Faktor -2 erlaubt Integration:

${\frac {\pi }{2}}\int \limits _{0}^{\infty }r\cdot e^{-r^{2}}\mathrm {d} r=-{\frac {\pi }{4}}\int \limits _{0}^{\infty }-2r\cdot e^{-r^{2}}\mathrm {d} r=-{\frac {\pi }{4}}\left[e^{-r^{2}}\right]_{0}^{\infty }=-{\frac {\pi }{4}}(e^{-\infty ^{2}}-e^{-0^{2}})=-{\frac {\pi }{4}}(0-1)={\frac {\pi }{4}}$

Einsetzen des Wertes des bestimmten Integrals liefert:

$\Gamma (1/2)=2{\sqrt {\frac {\pi }{4}}}={\sqrt {\pi }}$

Klassenzahl von Kreisteilungskörpern

Das ist eine Ergänzung zu Kreisteilungskörper#Idealklassengruppe basierend auf Lemmermeyer.

Die diskutierten Vermutungen implizieren die Vandiver-Vermutung für die entsprechende Primzahl.

Harvey Cohn vermutete 1960, dass $h_{2^{\nu }}^{+}=1$ für alle $\nu \geq 2$ gilt. Die folgenden Teilresultate konnten seither erzielt werden:

• Für $\mathbb {Q} (\zeta _{4})^{+}=\mathbb {Q}$, $\mathbb {Q} (\zeta _{8})^{+}=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ und $\mathbb {Q} (\zeta _{16})^{+}=\mathbb {Q} ({\sqrt {2+{\sqrt {2}}}})$ lässt sich leicht zeigen, dass die Klassenzahl $1$ ist.
• Für $\mathbb {Q} (\zeta _{32})^{+}$ folgt dies aus den Berechnungen des Stuttgarter Gymnasiallehrers Karl Gustav Reuschle (1812–1875).
• Heinrich Weber konnte zeigen, dass $h_{2^{\nu }}^{+}$ ungerade für alle $\nu$ ist.
• Fukuda und Komatsu konnten 2011 zeigen, dass die Klassenzahlen $h_{2^{\nu }}^{+}$ keine Primteiler $<10^{9}$ enthalten.
• Bauer und van der Linden konnten zeigen, dass $h_{2^{6}}^{+}=h_{2^{7}}^{+}=1$ gilt.
• John C. Miller konnte 2015 zeigen, dass $h_{2^{8}}^{+}=1$ gilt und dass unter Annahme der verallgemeinerten Riemannschen Vermutung auch $h_{2^{9}}^{+}=1$ gilt.

Die Cohen-Lenstra-Heuristik legt nach Buhler, Pomerance und Robertson nahe, dass für fast alle Primzahlen $p$ und alle $n$ die Gleichheit $h_{p^{n}}^{+}=h_{p}^{+}$ gilt. Es ist bis dato (2016) nicht bekannt, ob es überhaupt eine Primzahl $p$ und ein $n$ gibt, für die $h_{p^{n}}^{+}\neq h_{p}^{+}$ gilt. Diese Frage stellte auch John Coates.

In Anbetracht dieser Vermutung ist die Bestimmung von $h_{p}^{+}$ von entscheidendem Interesse.

• Die Bestimmung der Kreisteilungkörper mit Klassenzahl $1$ lieferte bereits $h_{p}=h_{p}^{+}=1$ für alle $p\leq 19$.
• Takayuki Morisawa konnte 2009 zeigen, dass $h_{3^{\nu }}^{+}$ keinen Primfaktor $<10^{4}$ enthält.