Benutzer:WolKouk/Bilanzrechnung (Hydrodynamik)

In der Physik sind Bilanzen (lateinisch bilancia ‚(Balken-)Waage‘; aus lateinisch bi ‚doppelt‘ und lanx ‚Schale‘) analog zur Bedeutung im Alltag. Die Änderung einer physikalischen Größe in einem System ist gleich der lokalen Produktion plus der Flüsse der Größe über die Ränder des Systems. Physikalisch sinnvoll ist die Diskussion von Bilanzen für physikalische Erhaltungsgrößen. In der Fluiddynamik sind dies Masse, Impuls und Energie.

Bilanzgleichung allgemein

Die allgemeine Form der Bilanzgleichung folgt aus der anschaulichen Definition oben.

Integralform

Die Integralform formuliert die Bilanz einer physikalischen Erhaltungsgröße $G$ in einem endlich großen System des Volumens $V$ mit der Oberfläche $A$:

${\frac {\partial }{\partial \mathrm {t} }}\int _{V}G\ \mathrm {d} v=\oint _{A}G{\vec {j}}\cdot \mathrm {d} {\vec {a}}+\int _{V}P\ \mathrm {d} v$

Die zeitliche Änderung von $G$ im Volumen $V$ ist bestimmt durch den Fluss von $G$ durch die Operfläche $A$ des Volumens $V$ plus der Produktion $P$ von $G$ innerhalb des Volumens.

Hier sind $\mathrm {d} v$ das infenitisimale Volumenelement, $\mathrm {d} {\vec {a}}$ das Oberflächenelement bestimmt durch den lokalen Normalenvektor. ${\vec {j}}$ ist die Flussgeschwindigkeit. Sie kann z.B. die lokale Strömungsgeschwindigkeit ${\vec {v}}$ oder die molekulare Diffusion aber auch eine Geschwindigkeit der Oberfläche selber sein. Je nach Anwendung ist die Strömungsgeschwindigkeit die Summe aus einer (messbaren) gemittelten Geschwindigkeit plus einer turbulenten Geschwindigkeit sein: ${\vec {v}}={\bar {\vec {v}}}+{\vec {v}}^{\prime }$. ${\textstyle P={\dot {G}}={\frac {\mathrm {D} G}{\mathrm {D} t}}}$ ist die Produktion von $G$ folgt man der Strömung (substatielle zeitliche Änderung)

Die physikalische Erhaltungsgröße $G$ kann sowohl ein Skalar (z.B. Masse) oder ein Vektor (Impuls) sein. In Fall eines Vektors ist zwischen $G$ und ${\vec {j}}$ das Dyadische Produkt ${\vec {G}}\otimes {\vec {j}}$ anzuwenden.