Benutzer:Wruedt/Angular velocity

Winkelgeschwindigkeit des Sehstrahls

Ebene Bewegung

Die Winkelgeschwindigkeit des Sehstrahls vom Ursprung O zum Teilchens P wird bestimmt durch die Tangentialgeschwindigkeit des Geschwindigkeitsvektors v.

Der Geschwindigkeitsvektor v eines Teilchens P relativ zu einem Beobachter O kann in Polarkoordinaten zerlegt werden. Die radiale Komponente des Geschwindigkeitsvektors ändert die Richtung des Sehstrahls nicht. Zwischen der tangentialen Komponente und der Winkelgeschwindigkeit des Sehstrahls besteht die Beziehung:

$\mathrm {v} _{\perp }={\frac {d\phi }{dt}}\,r=\omega \cdot r$

Es ist anzumerken, dass die Winkelgeschwindigkeit des Sehstrahls vom (willkürlich) gewählten Ort des Beobachters abhängt.

Räumliche Bewegung

In drei Dimensionen ist die Winkelgeschwindigkeit sowohl durch ihren Betrag, als auch durch ihre Richtung gekennzeichnet.

Wie im zwei-dimensionale Fall, hat das Teilchen eine Komponente seines Geschwindigkeitsvektors in Richtung des Radiusvektors und eine weitere senkrecht dazu. Die Ebene die durch den Ursprung geht und in der die senkrechte Komponente des Geschwindigkeitsvektors liegt, definiert eine Rotationsebene, in der das Verhalten des Teilchens für einen Augenblick wie im zwei-dimensionalen Fall erscheint. Die Rotationsachse ist dann senkrecht zu dieser Ebene und definiert die Richtung des Vektors der Winkelgeschwindigkeit. Radius- und Geschwindigkeitsvektor werden als bekannt vorausgesetzt. Es gilt dann:

${\vec {\omega }}={\frac {{\vec {r}}\times {\vec {v}}}{|{\vec {r}}|^{2}}}$

Auch hier gilt, dass die so berechnete Winkelgeschwindigkeit vom (willkürlich) gewählten Ort des Beobachters abhängt. Eine Anwendung ist die Relativbewegung von Objekten in der Astronomie (siehe Eigenbewegung (Astronomie)).

Komponenten von Euler Winkeln

Lagewinkel-Drehung vom erdfesten Koordinatensystem (englisch world frame, Index g) ins körperfeste Koordinatensystem (englisch body frame, Index f)

Im Fahrzeug- oder Flugzeugbau wird die Orientierung des fahrzeugfesten Systems relativ zum erdfesten System in Euler Winkeln angegeben. Genormt sind drei aufeinander folgende Drehungen. Zuerst um die z-Achse des Systems g (Gierwinkel), dann um die y-Achse des gedrehten Systems (Nickwinkel) und schließlich um die x-Achse des körperfesten Koordinatensystems (Wank/Rollwinkel).

Die Winkelgeschwindigkeit des körperfesten Systems ergibt sich aus den Winkelgeschwindigkeiten um diese Achsen.

${\vec {\omega }}={\dot {\psi }}{\vec {\mathbf {u} }}_{1}+{\dot {\theta }}{\vec {\mathbf {u} }}_{2}+{\dot {\phi }}{\vec {\mathbf {u} }}_{3}$

Diese Basis ist nicht orthonormal. Die Einheitsvektoren können jedoch mit Hilfe von Elementardrehungen berechnet werden.

Winkelgeschwindigkeit des starren Körpers

Beweis der Unabhängigkeit der Winkelgeschwindigkeit von der Wahl des Bezugspunkts

Der starre Körper möge um eine beliebige Achse rotieren. Es wird gezeigt, dass die Winkelgeschwindigkeit unabhängig von der Wahl des Bezugspunkts auf dieser Achse ist. Dies bedeutet, dass die Winkelgeschwindigkeit eine unabhängige Eigenschaft des rotierenden starren Körpers ist.

Der Ursprung des Laborsystems ist in O, während O₁ und O₂ zwei Punkte auf dem starren Körper mit den Geschwindigkeiten ${\vec {\mathbf {v} }}_{1}$ bzw. ${\vec {\mathbf {v} }}_{2}$ sind. Angenommen die Winkelgeschwindigkeiten von O₁ bzw. O₂ relativ zum Laborsystem seien ${\vec {\boldsymbol {\omega }}}_{1}$ bzw. ${\vec {\boldsymbol {\omega }}}_{2}$. Da Punkt P nur eine Geschwindigkeit haben kann gilt:

${\vec {\mathbf {v} }}_{1}+{\vec {\boldsymbol {\omega }}}_{1}\times {\vec {\mathbf {r} }}_{1}={\vec {\mathbf {v} }}_{2}+{\vec {\boldsymbol {\omega }}}_{2}\times {\vec {\mathbf {r} }}_{2}$

${\vec {\mathbf {v} }}_{2}={\vec {\mathbf {v} }}_{1}+{\vec {\boldsymbol {\omega }}}_{1}\times {\vec {\mathbf {r} }}={\vec {\mathbf {v} }}_{1}+{\vec {\boldsymbol {\omega }}}_{1}\times ({\vec {\mathbf {r} }}_{1}-{\vec {\mathbf {r} }}_{2}).$

Die beiden obigen Gleichungen ergeben:

$({\vec {\boldsymbol {\omega }}}_{1}-{\vec {\boldsymbol {\omega }}}_{2})\times {\vec {\mathbf {r} }}_{2}=0.$

Da der Punkt P (und damit ${\vec {\mathbf {r} }}_{2}$) beliebig wählbar ist, folgt daraus:

${\vec {\boldsymbol {\omega }}}_{1}={\vec {\boldsymbol {\omega }}}_{2}.$

Die Winkelgeschwindigkeit des starren Körpers ist somit unabhängig von der Wahl des Bezugspunkts der Drehachse. In Kraftfahrzeugen kann somit die Gierrate unabhängig vom Einbauort des Gierratensensors gemessen werden.

Beispiel Fadenpendel

Beim ebenen Fadenpendel mit der Masse $m$ wird der Winkel $\varphi$, mit dem der Faden aus der Ruheposition ausgelenkt ist, als Freiheitsgrad gewählt. Die konstante Fadenlänge $l$ stellt eine skleronome Zwangsbedingung dar. Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung der Masse können daher in Abhängigkeit dieses Winkels ausgedrückt werden:

${\vec {r}}={\begin{bmatrix}l\sin {\varphi }\\-l\cos {\varphi }\end{bmatrix}}$

${\dot {\vec {r}}}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \varphi }}\,{\dot {\varphi }}={\begin{bmatrix}l\cos {\varphi }\\l\sin {\varphi }\end{bmatrix}}{\dot {\varphi }}$

${\ddot {\vec {r}}}={\begin{bmatrix}l\cos {\varphi }\\l\sin {\varphi }\end{bmatrix}}{\ddot {\varphi }}+{\begin{bmatrix}-l\sin {\varphi }\\l\cos {\varphi }\end{bmatrix}}{\dot {\varphi }}^{2}$

Die virtuelle Verschiebung ergibt sich zu:

$\delta {\vec {r}}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \varphi }}\,\delta \varphi ={\begin{bmatrix}l\cos {\varphi }\\l\sin {\varphi }\end{bmatrix}}\delta \varphi$

Als eingeprägte Kraft wirkt die Gewichtskraft:

${\vec {G}}={\begin{bmatrix}0\\-m\,g\end{bmatrix}}$

Die Bewegungsgleichung ergibt sich aus der Bedingung, dass die virtuelle Arbeit der Zwangskräfte verschwindet.

$\left(m{\ddot {\vec {r}}}-{\vec {G}}\right)\delta {\vec {r}}=0\Rightarrow \left(m{\ddot {\vec {r}}}-{\vec {G}}\right){\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \varphi }}=0.$

Durch Auswertung der Skalarprodukte erhält man schließlich:

$m\,l^{2}\,{\ddot {\varphi }}=-m\,g\,l\,\sin \varphi$

Masse und Fadenlänge läßt sich kürzen, so dass man die bekannte Differentialgleichung:

${\ddot {\varphi }}=-{\frac {g}{l}}\,\sin \varphi$

erhält.

Die Vorgehensweise erscheint bei diesem einfachen Beispiel sehr umständlich. Da aber nur Skalarprodukte ausgewertet werden müssen, kann dies bei großen Systemen automatisiert werden und numerisch im Rechner durchgeführt werden. Dies erleichtert die Aufstellung von Bewegungsgleichungen wesentlich.

Erweiterung auf Mehrkörpersysteme

Im allgemeinen Fall von Mehrkörpersystemen wird berücksichtigt, dass auch die virtuelle Arbeit der Zwangsmomente auf den virtuellen Verdrehungen verschwindet. Zur Berechnung der Zwangsmomente wird die Eulersche Gleichung verwendet.

${\sum _{i=1}^{N}\left(\left[m_{i}{\ddot {\vec {r}}}_{i}-{\vec {F}}_{i}^{e}\right]\delta {\vec {r}}_{i}^{T}+\left[I_{i}\,{\dot {\vec {\omega }}}_{i}+{\vec {\omega }}_{i}\times I_{i}\,{\vec {\omega }}_{i}-{\vec {M}}_{i}^{e}\right]\delta {\vec {\varphi }}_{i}^{T}\right)=0}.$

mit

$I_{i}$ Trägheitstensor des Körpers i

${\dot {\vec {\omega }}}_{i}$ Winkelbeschleunigung des Körpers i

${\vec {\omega }}_{i}$ Winkelgeschwindigkeit des Körpers i

${\vec {M}}_{i}^{e}$ eingeprägtes Moment auf den Körper i

$\delta {\vec {\varphi }}_{i}$ virtuelle Verdrehung des Körpers i.

Bei N Körpern und k Bindungen ergeben sich $f=6\,N-k$ Freiheitsgrade. Die virtuellen Verdrehungen erhält man analog zu den Verschiebungen aus den partiellen Ableitungen nach den verallgemeinerten Koordinaten:

$\delta {{\vec {\varphi }}_{i}}=\sum _{j=1}^{f}{\frac {\partial {\vec {\varphi }}_{i}}{\partial q_{j}}}\,\delta q_{j}$

Die Beschleunigungen lassen sich in einen Teil, der nur von den zweiten Ableitungen der verallgemeinerten Koordinaten abhängt und einen Restterm zerlegen:

${\ddot {\vec {r}}}_{i}=\sum _{j=1}^{f}{\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{j}}}\,{\ddot {q}}_{j}+{\vec {a}}_{i}^{\,*}$ und

${\ddot {\vec {\alpha }}}_{i}=\sum _{j=1}^{f}{\frac {\partial {\vec {\varphi }}_{i}}{\partial q_{j}}}\,{\ddot {q}}_{j}+{\vec {\alpha }}_{i}^{\,*}$.

Damit läßt sich das Differentialgleichungsystem zweiter Ordnung in Matrixform darstellen.

$\mathbf {M} \,{\ddot {\vec {q}}}={\vec {F}}^{*}+{\vec {M}}^{*}$

Dabei sind:

$\mathbf {M}$ die f x f Massenmatrix

${\vec {F}}^{*}$ der Vektor der verallgemeinerten Kräfte

${\vec {M}}^{*}$ der Vektor der verallgemeinerten Momente

Die Elemente der Massenmatrix berechnen sich zu:

$M_{m,n}=\sum _{i=1}^{N}\left(m_{i}\,{\frac {\partial {\vec {r}}_{i}^{\,T}}{\partial q_{m}}}\cdot {\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{n}}}+{\frac {\partial {\vec {\varphi }}_{i}^{\,T}}{\partial q_{m}}}\cdot I_{i}\cdot {\frac {\partial {\vec {\varphi }}_{i}}{\partial q_{n}}}\right)$

Für die Komponenten verallgemeinerten Kräfte bzw. Momente ergibt sich:

$F_{m}^{*}=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial {\vec {r}}_{i}^{\,T}}{\partial q_{m}}}\left[{\vec {F}}_{i}{^{e}}-m_{i}\,{\vec {a}}_{i}^{\,*}\right]\right)$

$M_{m}^{*}=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial {\vec {\varphi }}_{i}^{\,T}}{\partial q_{m}}}\left[{\vec {M}}_{i}{^{e}}-I_{i}\,{\vec {\alpha }}_{i}^{\,*}-{\vec {\omega }}_{i}\times I_{i}\,{\vec {\omega }}_{i}\right]\right)$

Die Berechnung der Massenmatrix sowie der verallgemeinerten Kräfte und Momente kann numerisch im Rechner durchgeführt werden. Das Differentialgleichungssystem kann ebenfalls numerisch mit gängigen Programmen gelöst werden. Die Behandlung großer Mehrkörpersysteme mit kinematichen Bindungen wird so erst möglich.

Kettenkarussell

Analog zum Motorradbeispiel kann die Schrägstellung der Kette beim Kettenkarussel berechnet werden. Auf die gemeinsame Masse von Sitz und Person wirken beim Kettenkarussell die Kraft in der Kette, sowie die Gewichtskraft. Die Kette wird als masselos angenommen. Beginnt sich das Karussell zu drehen, so bewegen sich die Passagiere nach dem Trägheitsprinzip zunächst geradlinig weiter. Sie werden nach aussen gedrängt. Erst durch die Schrägstellung der Kette entsteht die für die Kreisbewegung erforderliche Zentripetalkraft. Für ein Kettenkarussell bei dem die Kette der Länge l auf dem Radius R angebracht ist, kann die Schrägstellung mit zwei Methoden berechnet werden.

$r=R+l\,\sin \alpha$