Apno Ypdoz

Hier plane ich den Artikel über das Annuitätendarlehen zu überarbeiten. Jegliche Anregungen sind erwünscht.

Annuitätendarlehen

Bei einem Annuitätendarlehen bekommt der Schuldner von dem Gläubiger eine Kreditsumme $S$ ausgezahlt und zahlt diese über eine festgelegte Rate $R$ jährlich über eine Laufzeit von $n$ Jahren zurück. Der Begriff leitet sich aus dem lateinischen "Annus", das Jahr, ab. Die erste Rate wird genau ein Jahr nach dem Empfang der Kreditsumme fällig. Der Sinn des Annuitätendarlehens für den Schuldner besteht darin, dass er zukünftige regelmäßige jährliche Einkommen bereits heute ausgeben kann.

Grundlagen

Es wird unterstellt, dass sich das Geld mit einer konstanten Wachstumsrate pro Jahr, dem Zins $i$, vermehrt (exponentielles Wachstum). Veranschaulicht könnte man sagen: Der Gläubiger sät die Kreditsumme $S$ zum Zeitpunkt Null. Dafür erntet er jedes Jahr die Menge $R$ und nach $n$ Jahren ist das Geld gerade aufgebraucht. Nach einem Jahr hat sich die Kreditsumme $S$ um $i\cdot S$ auf $S+i\cdot S=(1+i)S$ vermehrt. Der Gläubiger könnte also immer $R=i\cdot S$ ernten, ohne dass sich der Grundbestand je verringerte. Daraus folgt $S=R/i$ als heutiger Wert für eine unendliche jährliche Rente zum Zinssatz $i$.

Was ist eine Auszahlung in Höhe von $R$ nach $k$ Jahren bei einem Zins von $i$ heute wert? Da das Geld in $k$ Jahren auf das $(1+i)^{k}$-fache anwächst, könnte ich heute die Menge $(1+i)^{-k}R$ säen und das Geld würde in $k$ Jahren gerade auf $R$ anwachsen. Somit ist $(1+i)^{-k}R$ der heutige Wert dieser zukünftigen Auszahlung. Den heutigen Wert zukünftiger Zahlungsströme nennt man auch Kapitalwert oder Barwert.

Es sei $S$ der Kredit, der dem Schuldner zum Zeitpunkt $k=0$ gewährt wird. $R$ sei die jährliche Rate, die der Schuldner über die Laufzeit von $n$ Jahren zahlt und $i$ sei der jährliche Zins. Dann muss bei dem Annuitätendarlehen die Kreditsumme dem heutigen Wert aller zukünftiger Zahlungen entsprechen. Es gilt daher

${\begin{aligned}S&={\frac {R}{1+i}}+{\frac {R}{(1+i)^{2}}}+\dots +{\frac {R}{(1+i)^{n}}}=\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {R}{(1+i)^{k}}}={\frac {R}{1+i}}\sum \limits _{k=0}^{n-1}{\frac {1}{(1+i)^{k}}}\\&={\frac {R}{1+i}}{\frac {1-\left({\frac {1}{1+i}}\right)^{n}}{1-{\frac {1}{1+i}}}}\end{aligned}}$

mit der Formel für geometrische Reihen mit $q={\frac {1}{1+i}}$ und daraus folgt

${\begin{aligned}S=\left({\frac {1}{i}}-{\frac {1}{i(1+i)^{n}}}\right)R.\end{aligned}}$

Wenn die Kreditsumme $S$, der jährlicher Zins $i$ und die Laufzeit $n$ bekannt sind, kann die Rate $R$ über

${\begin{aligned}R=\left({\frac {1}{i}}-{\frac {1}{i(1+i)^{n}}}\right)^{-1}S.\end{aligned}}$

berechnet werden.

Der Ausdruck $\left({\frac {1}{i}}-{\frac {1}{i(1+i)^{n}}}\right)^{-1}$ wird auch Annuitätenfaktor genannt und ist der Kehrwert des Rentenbarwertfaktors. Er wird häufig leicht umgeformt mit ${\frac {i(1+i)^{n}}{(1+i)^{n}-1}}$ angegeben. Den Rentenbarwertfaktors kann man sich auch anschaulich anders herleiten, nämlich als Differenz zweier unendlicher Renten, die um $n$ Jahre versetzt sind. ${\frac {R}{i}}$ ist der heutige Wert einer unendlichen Rente mit der ersten Auszahlung nach einem Jahr und ${\frac {R}{i(1+i)^{n}}}$ ist der heutige Wert einer unendlichen Rente mit der ersten Auszahlung nach $n+1$ Jahren. Somit gilt

${\begin{aligned}S&={\frac {R}{i}}-{\frac {R}{i(1+i)^{n}}}=\left({\frac {1}{i}}-{\frac {1}{i(1+i)^{n}}}\right)R.\end{aligned}}$

In der Praxis wird häufig anstatt der Laufzeit $n$ eine Anfangstilgung $t$ vorgegeben. Diese gibt an, um welchen Anteil sich die Kreditsumme $S$ nach dem ersten Jahr durch die Rate $R$ verringert. Es gilt

${\begin{aligned}1-t&={\frac {S(1+i)-R}{S}}\\\Longrightarrow t&={\frac {R}{S}}-i.\end{aligned}}$

In der folgenden Tabelle sind alle Bezeichnungen und deren jeweilige Bedeutung aufgelistet.

Bezeichnung	Bedeutung	Einheit
$S$	Kreditsumme	EUR
$R$	Jährliche Rate	EUR
$i$	Jährlicher Zins	-
$t$	Anfangstilgung	-
$n$	Laufzeit	Jahre
$S_{k}$	Restschuld nach $k$ Jahren	EUR
$T_{k}$	Tilgungsrate im $k$-ten Jahr	EUR
$Z_{k}$	Zinslast im $k$-ten Jahr	EUR
$t_{k}$	Tilgung im $k$-ten Jahr	-
$r$	Monatliche Rate	EUR
$i_{\text{M}}$	Monatlicher Zins	-
${\widehat {i}}$	Nominalzins nach Definition der Banken	-
${\widehat {t}}$	Anfangstilgung nach Definition der Banken	-
${\widehat {R}}$	Jährliche Rate nach Definition der Banken	EUR

Berechnungen

Wir betrachten nun die fünf Größen Kreditsumme $S$, jährliche Rate $R$, jährlicher Zins $i$, Laufzeit $n$ und Anfangstilgung $t$. Bekannt sind die beiden Gleichungen

${\begin{aligned}S&=\left({\frac {1}{i}}-{\frac {1}{i(1+i)^{n}}}\right)R\\t&={\frac {R}{S}}-i.\end{aligned}}$

Wenn drei der fünf Größen vorgegeben sind, können wir die restlichen zwei über die Gleichungen bestimmen. Die relevanten Fälle werden im Folgenden vorgestellt.

S, i, n vorgegeben, Berechnung von R, t

${\begin{aligned}R&={\frac {iS}{\left(1-{\frac {1}{(1+i)^{n}}}\right)}}\\t&={\frac {R}{S}}-i\end{aligned}}$

S, i, t vorgegeben, Berechnung von R, n

${\begin{aligned}R&=(i+t)S\\n&={\frac {\ln(1+{\frac {i}{t}})}{\ln(1+i)}}\end{aligned}}$

S, i, R vorgegeben, Berechnung von n, t

${\begin{aligned}n&={\frac {\ln {\frac {1}{1-i{\frac {S}{R}}}}}{\ln(1+i)}}\\t&={\frac {R}{S}}-i\end{aligned}}$

S, R, n vorgegeben, Berechnung von i

Der Zins $i$ lässt sich bei gegebenen $S,R,n$ nicht explizit berechnen. Dieses ist nur iterativ z.B. mit dem Newton-Verfahren möglich. Dieses Verfahren konvergiert quadratisch, ist aber nur lokal konvergent - man benötigt also einen guten Startwert. Voraussetzung für einen sinnvollen Zins ist $S<nR$. Wir setzen

${\begin{aligned}f(i)&:=\left({\frac {1}{i}}-{\frac {1}{i(1+i)^{n}}}\right)-{\frac {S}{R}}.\end{aligned}}$

$f:]0,\infty [\mapsto \mathbb {R} ,i\mapsto f(i)$ ist eine stetige Funktion und mit dem Fixpunktsatz von Banach konvergiert die Fixpunktiteration in einer geeigneten Umgebung der Nullstellen von $f$ gegen diese. Die Ableitung lautet

${\begin{aligned}f'(i)&={\frac {1}{i}}\left({\frac {n}{(1+i)^{n+1}}}-\left({\frac {1}{i}}-{\frac {1}{i(1+i)^{n}}}\right)\right).\end{aligned}}$

Ausgehend von einem guten Startwert $i_{0}$ können wir uns über die Rekursion

${\begin{aligned}i_{k}&=i_{k-1}-{\frac {f(i_{k-1})}{f'(i_{k-1})}}\end{aligned}}$

sukzessive dem Zinssatz $i$ annähern. Ein guter Startwert unter den Voraussetzungen $S<nR$ und $n>1$ ist

${\begin{aligned}i_{0}&={\frac {nR-S}{nS}}={\frac {R}{S}}-{\frac {1}{n}}.\end{aligned}}$

Wegen $n<{\frac {1}{t}}$ ist hier $0<i_{0}<i$ gewährleistet.

Berechnung der Restschuld nach k Jahren

Bei einem Annuitätendarlehen lässt sich die Restschuld $S_{k}$ nach $k$ Jahren mit $1\leq k\leq n$ wie folgt bestimmen

${\begin{aligned}S_{k}&=\left(S-\left({\frac {1}{i}}-{\frac {1}{i(1+i)^{k}}}\right)R\right)(1+i)^{k}\\&={\frac {R}{i}}\left(1-{\frac {1}{(1+i)^{n-k}}}\right)\end{aligned}}$

S, R, S_k vorgegeben, Berechnung von i

Der Zins $i$ lässt sich auch hier nicht explizit berechnen. Hier wird wieder ein Verfahren auf Basis des Newton-Verfahrens vorgestellt. Voraussetzung für einen sinnvollen Zins ist $S-S_{k}<kR$. Wir setzen

${\begin{aligned}f(i)&:=S-{\frac {S_{k}}{(1+i)^{k}}}-\left({\frac {1}{i}}-{\frac {1}{i(1+i)^{k}}}\right)R\end{aligned}}$

$f:]0,\infty [\mapsto \mathbb {R} ,i\mapsto f(i)$ ist eine stetige Funktion und mit dem Banachschen Fixpunktsatz konvergiert die Fixpunktiteration in einer geeigneten Umgebung der Nullstellen von $f$ gegen diese. Die Ableitung lautet

${\begin{aligned}f'(i)&={\frac {kS_{k}}{(1+i)^{k+1}}}-\left(-{\frac {1}{i^{2}}}+{\frac {k}{i(1+i)^{k+1}}}+{\frac {1}{i^{2}(1+i)^{k}}}\right)R\end{aligned}}$

Ausgehend von einem guten Startwert $i_{0}$ können wir uns über die Rekursion

${\begin{aligned}i_{k}&=i_{k-1}-{\frac {f(i_{k-1})}{f'(i_{k-1})}}\end{aligned}}$

sukzessive dem Zinssatz $i$ annähern. Ein guter Startwert unter den Voraussetzungen $S-S_{k}<kR$ und $k>1$ ist hier

${\begin{aligned}i_{0}&={\frac {kR-(S-S_{k})}{kS}}.\end{aligned}}$

Rekursive Berechnungen der Restschuld, jährlichen Zinslast und Tilgungsraten

Die rekursive Darstellung ist insbesondere für Tabellenkalkulationsprogramme hilfreich. Es sei $S_{k}$ die Restschuld in Euro, $T_{k}$ die Tilgungsrate in Euro und $Z_{k}$ die Zinslast in Euro jeweils zu Beginn des $k$-ten Jahres. Außerdem sei $t_{k}$ die relative Tilgung durch $k$-te Rate. Dann gelten die Beziehungen

${\begin{aligned}S_{0}&=S\\S_{k+1}&=(1+i)S_{k}-R\\T_{k+1}&=R-iS_{k}\\Z_{k+1}&=iS_{k}\\t_{1}=t&={\frac {T_{1}}{S}}.\end{aligned}}$

Hieraus folgt

${\begin{aligned}R&=T_{k}+Z_{k}\\S_{k+1}&=S_{k}-T_{k+1}\end{aligned}}$

und es folgen die weiteren Rekursionen

${\begin{aligned}T_{k+1}&=(1+i)T_{k}\\Z_{k+1}&=(1+i)Z_{k}-iR\\t_{k}={\frac {T_{k}}{S_{k-1}}}&={\frac {(1+i)t_{k-1}}{1-t_{k-1}}}.\end{aligned}}$

Anhand der letzten Gleichung ergibt sich sofort, dass bei fester Anfangstilgung $t=t_{1}$ die relativen Tilgungen in Periode $k\geq 2$ höher sind, je größer der Zins $i$ ist. Das bedeutet, dass bei fester Anfangstilgung die Laufzeit geringer ist je höher der Zins ist. Insbesondere gilt $n<{\frac {1}{t}}$ für $i>0$.

Die Rekursionen für monatliche Größen ergibt sich, indem man die jährlichen Größen in den Formeln jeweils durch die entsprechenden monatlichen Größen ersetzt.

Unterjährige Ratenzahlung

In vielen Fällen macht es Sinn, die jährliche Rate auf kleinere Raten zu verteilen, die dann mehrmals im Jahr zu zahlen sind. So kann es z.B. bei Arbeitnehmern, die ein monatliches Einkommen beziehen, sinnvoll sein, auch die Raten eines Darlehens monatlich zu zahlen. Das gibt dem Gläubiger eine größere Sicherheit und führt für den Schuldner zu einer besseren Planbarkeit seines monatlichen Budgets. Nun stellt sich die Frage: Wenn das Geld in einem Jahr um $i$ wächst, um wie viel wächst es dann in einem Monat? Das monatliche Wachstum bezeichnen wir mit $i_{\text{M}}$. Wenn wir die Dauer eines Monats als ein Zwölftel der Dauer eines Jahres definieren, folgt aufgrund des exponentiellen Wachstums

${\begin{aligned}i_{\text{M}}&=(1+i)^{\frac {1}{12}}-1\end{aligned}}$

als Wachstumsrate in einem Monat. Die erste jährliche Rate $R$ ist zum Zeitpunkt 0 etwas weniger Wert, da sie ja im ersten Jahr mit dem Wachstumsfaktor $1+i$ wächst. Die monatliche Rate $r$, die zum ersten Mal einen Monat nach Empfang der Kreditsumme zu entrichten wäre, ergibt sich daher durch

${\begin{aligned}{\frac {R}{1+i}}&=\left({\frac {1}{i_{\text{M}}}}-{\frac {1}{i_{\text{M}}(1+i_{\text{M}})^{12}}}\right)r\end{aligned}}$

und es folgt

${\begin{aligned}r&={\frac {i_{\text{M}}}{i}}R.\end{aligned}}$

Die Fälle anderer unterjähriger Zahlungen lassen sich analog behandeln, in dem man die 12 in den Formeln jeweils durch die Anzahl der Zahlungen $m$ pro Jahr ersetzt. Voraussetzung ist, dass die Zahlungen regelmäßig erfolgen und zum ersten Mal nach $1/m$ des Jahres. Die Laufzeit ändert sich durch eine unterjährige Ratenzahlung nicht!

Annuitätenrechnung der Banken

Bei der Anwendung der oben genannten Formeln stellt man im Vergleich mit Angeboten einer Bank oder mit Online-Annuitätenrechnern häufig Unterschiede fest. In diesem Abschnitt wird beschrieben, wie diese Unterschiede zustande kommen. Um diesen Sachverhalt möglichst anschaulich zu beschreiben, werden wir uns dabei auf den Fall der monatlichen Ratenzahlung beschränken. Alle anderen Fälle wie vierteljährliche oder halbjährliche Ratenzahlungen sind analog zu betrachten. In der folgenden Tabelle sind alle Bezeichnungen der Größen dargestellt, die im Folgenden verwendet werden.

Bezeichnung	Bedeutung	Einheit
$S$	Kreditsumme	EUR
$R$	Jährliche Rate	EUR
$i$	Jährlicher Zins	-
$t$	Anfangstilgung	-
$n$	Laufzeit	Jahre
$S_{k}$	Restschuld nach $k$ Monaten	EUR
$r$	Monatliche Rate	EUR
$i_{\text{M}}$	Monatlicher Zins	-
${\widehat {i}}$	Nominalzins nach Definition der Banken	-
${\widehat {t}}$	Anfangstilgung nach Definition der Banken	-
${\widehat {R}}$	Jährliche Rate nach Definition der Banken	EUR
$m$	Laufzeit	Monate

Abweichung von Zins, Rate und Anfangstilgung

Die Banken werben häufig mit einem Zins, dem sogenannten Nominalzins. Dieser Nominalzins der Banken stimmt aber nur dann mit dem tatsächlichen Zins überein, wenn die Raten nicht unterjährig bezahlt werden. Bei der Berechnung von jährlicher zu monatlicher Rate teilt die Bank die jährliche Rate durch 12. Sie vernachlässigt hierbei, dass sie die jährliche Rate nun über das Jahr verteilt früher bekommt. Das erhöht den eigentlichen Zins $i$ gegenüber den von der Bank angegebenen Nominalzins. Wir bezeichnen nun die Werte wie sie von der Bank festgelegt werden mit einem Hut ${\widehat {\ }}$, wenn sie mit den tatsächlichen Werten nicht übereinstimmen. Die Werte, die in jedem Fall übereinstimmen sind die Kreditsumme $S$, der monatliche Zins $i_{\text{M}}$ und die monatliche Rate $r$. Die Bank geht aus von der Kreditsumme $S$, dem jährlichen Zins ${\widehat {i}}$ und der Anfangstilgung ${\widehat {t}}$. Die jährliche Rate ${\widehat {R}}$ berechnet sie aus

${\begin{aligned}{\widehat {R}}&=({\widehat {i}}+{\widehat {t}})S\end{aligned}}$

und die monatliche Rate aus

${\begin{aligned}r&={\frac {\widehat {R}}{12}}.\end{aligned}}$

Hieraus berechnen wir nun die tatsächlichen Werte. Zunächst ergibt sich der monatliche Zins aus

${\begin{aligned}i_{\text{M}}&={\frac {\widehat {i}}{12}}.\end{aligned}}$

Der tatsächliche Zins $i$ ergibt sich aus der Gleichung

${\begin{aligned}(1+i)&=\left(1+i_{\text{M}}\right)^{12}\\i&=\left(1+i_{\text{M}}\right)^{12}-1.\end{aligned}}$

Dieser tatsächliche Zins $i$ muss nach der Preisangabenverordnung in dem effektiven Jahreszins berücksichtigt und ausgewiesen werden. Wenn keine weiteren Gebühren anfallen, entspricht $i$ dem effektiven Jahreszins. Für die tatsächliche jährliche Rate $R$ gilt

${\begin{aligned}R&={\frac {i}{i_{\text{M}}}}r.\end{aligned}}$

Der tatsächliche Zins und die tatsächliche jährliche Rate sind somit bei monatlicher Ratenzahlung höher als jene, die von der Bank ausgewiesen werden. Für kleine $i$ ergeben sich kleine Abweichungen, für große $i$ jedoch sehr große Abweichungen wie folgende Beispiele zeigen:

• Bei ${\widehat {i}}=0,01$ ergibt sich $i=0,01005$. Der tatsächliche Zins liegt also 0,5% höher als der Nominalzins der Bank.
• Bei ${\widehat {i}}=12$ ergibt sich $i=4095$. Der tatsächliche Zins liegt also 34025% höher als der Nominalzins der Bank.

Nun bestimmen wir mit bekannten Formeln die (weiterhin auf das Jahr bezogene) tatsächliche Anfangstilgung $t$ und die Laufzeit $n$ in Jahren.

${\begin{aligned}t&={\frac {R}{S}}-i\\n&={\frac {\ln \left(1+{\frac {i}{t}}\right)}{\ln(1+i)}}.\end{aligned}}$

Ein Tilgungsplan auf Basis von monatlichen Größen ist somit korrekt, ein Tilgungsplan auf Basis der jährlichen Größen der Bank wäre dagegen nicht korrekt, wenn auf beschriebene Art monatliche Ratenzahlung vereinbart wird.

Berechnung der Laufzeit und der letzten Rate

Die Laufzeit ist in der Regel eine krumme Zahl. In der Praxis wird die Laufzeit in Monaten berechnet, aufgerundet und im letzten Monat dann eine kleinere Rate vereinbart. Die Anfangstilgung im ersten Monat $t_{\text{M}}$ ist definiert durch

${\begin{aligned}1-t_{\text{M}}&={\frac {S(1+i_{\text{M}})-r}{S}}\\\Longrightarrow t_{\text{M}}&={\frac {r}{S}}-i_{\text{M}}.\end{aligned}}$

Es sei $m=12n$ die Laufzeit in Monaten. Dann ist $\lfloor m\rfloor$ die abgerundete Laufzeit in Monaten, die angibt, wie viele volle monatliche Raten gezahlt werden müssen. Die tatsächliche Laufzeit in Monaten erhält man durch $m$ aufgerundet, wobei die letzte Rate üblicherweise niedriger ist. Wir berechnen nun die letzte Monatsrate. Die Restschuld $S_{\lfloor m\rfloor }$ vor der letzten Rate beträgt

${\begin{aligned}S_{\lfloor m\rfloor }&=\left(S-\left({\frac {1}{i_{\text{M}}}}-{\frac {1}{i_{\text{M}}(1+i_{\text{M}})^{\lfloor m\rfloor }}}\right)r\right)(1+i_{\text{M}})^{\lfloor m\rfloor }\\&=\left(S-{\frac {r}{i_{\text{M}}}}\right)(1+i_{\text{M}})^{\lfloor m\rfloor }+{\frac {r}{i_{\text{M}}}}\end{aligned}}$

und die letzte Rate lässt sich daher ermitteln über

${\begin{aligned}r_{\lceil m\rceil }&=S_{\lfloor m\rfloor }(1+i_{\text{M}}).\end{aligned}}$

Im Übrigen gelten die folgenden nützlichen Beziehungen:

${\begin{aligned}{\frac {i}{t}}&={\frac {i_{\text{M}}}{t_{\text{M}}}}={\frac {\widehat {i}}{\widehat {t}}}\\{\frac {R}{i}}&={\frac {r}{i_{\text{M}}}}={\frac {\widehat {R}}{\widehat {i}}}\\(1+i)^{n}&=1+{\frac {i}{t}}\\m&={\frac {\ln \left(1+{\frac {i_{\text{M}}}{t_{\text{M}}}}\right)}{\ln(1+i_{\text{M}})}}={\frac {\ln \left(1+{\frac {i}{t}}\right)}{\ln(1+i)^{\frac {1}{12}}}}={\frac {\ln \left(1+{\frac {i}{t}}\right)}{{\frac {1}{12}}\ln(1+i)}}=12{\frac {\ln \left(1+{\frac {i}{t}}\right)}{\ln(1+i)}}=12n.\end{aligned}}$

Wenn man mit $\mu$ die Anzahl der unterjährigen Ratenzahlungen bezeichnet, ergibt sich also allgemein für die Laufzeit in Jahren:

${\begin{aligned}n&=\mu {\frac {\ln \left(1+{\frac {\widehat {i}}{\widehat {t}}}\right)}{\ln(1+{\frac {\widehat {i}}{\mu }})}}.\end{aligned}}$