Kaisonch
Bei der Berechnung der Flughöhe ist die Angabe der Erdanziehung fehlerhaft. Man hat einfach das Newtonsche Gravitationsgesetz aufgeschrieben. Dies gilt aber nur für punktförmige Massen. Der Abstand zweier Massen ist überhaupt nicht definiert, wenn diese nicht punktförmig sind. Insbesondere ergibt sich in der angegebenen Formel für r0 = 0 die Erdanziehung Unendlich, obwohl Null herauskommen müsste. Die aufgeschriebene Formel ist also für r0 = 0 völlig falsch, wird allerdings für wachsende r0 immer besser.
Bei der Herleitung der Keplerschen Gesetze aus dem Gravitationsgesetz kann man die Ausdehnung der Himmelskörper vernachlässigen, weil diese im Vergleich zu ihrem Abstand klein sind. Bei der Berechnung der Flughöhe geht das nicht, da der Erdradius nicht klein ist im Vergleich zur errechneten Flughöhe.
Zur korrekten Berechnung der Erdanziehung muss ein Volumenintegral über die Erde erstreckt werden. Die Erde befinde sich im Koordinatenursprung und der Satellit (punktförmig) im Punkte (r0,0,0) auf der x-Achse. Von einem Volumemelement dxdydz wirkt die Gravitationskraft
C rho(x,y,z)dxdydz /r²
auf den Satelliten, wo C eine Konstante, rho(x,y,z) die Dichte und r² = (r0-x)² + y² + z². Hiervon wirkt nur der Anteil (r0-x)/r in x – Richtung. Also muss das Volumenintegral über
C rho(x,y,z) (r0-x)/r³
erstreckt werden.
Für r0 = 0 heben sich die Integrale über die linke und rechte Erdhälfte gegenseitig auf (nur im Falle rho(x,y,z) = const), und es ergibt sich die Erdanziehung Null.
Für große r0 ist (r0-x)/r³ annähernd gleich 1/r0² und es ergibt sich für die Erdanziehung C M/r0², wo M die Erdmasse. Dies ist die im Artikel benutzte Formel. Eine asymptotische Entwicklung des Integrals zeigt bei konstantem rho(x,y,z), dass die Erdanziehung gleich
C M/r0²(1 +Groß-Oh(1/r0²))
Der Oh –Term wird in Flughöhe bei 1/50 liegen. Dies zeigt einen deutlicher Fehler der im Artikel benutzten Formel.
Prof. Dr. Peter Schatte Tschaikowskistr. 87 09599 Freiberg
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