Benutzerin:Argetula/Funktion

Funktionen, auch spricht man oft von Abbildungen, Operatoren und anderem, stehen im Zentrum der Mathematik. Der Funktionsbegriff wird in der Literatur unterschiedlich definiert, jedoch geht man generell von der Vorstellung aus, dass Funktionen mathematischen Objekten mathematische Objekte zuordnen, zum Beispiel jeder reellen Zahl deren Quadrat. Üblicherweise werden nur eindeutige Objektzuordnungen als Funktionen angesehen, das sind solche, die keinem Objekt mehr als ein Objekt zuordnen.

Definitionen und Notationen

Grundbegriffe

• Ordnet eine Funktion $f$ dem Objekt $x$ das Objekt $y$ zu, dann schreibt man $f\colon x\mapsto y$, nennt $y$ den Funktionswert von $f$ für das Funktionsargument $x$, so notiert: $f(x)$ und sagt: das geordneter Paare $(x,y)$ ist ein Element von $f$, sieht also Funktionen aus geordneten Paaren bestehend an, die, nach Maßgabe der Eindeutigkeit, keine verschiedenen Elemente mit gleicher linker Komponente enthält (dies ist der sogenannte Paarfunktions-Begriff im Gegensatz zum Tripelfunktions-Begriff, siehe unten Anmerkung4).
  

Anmerkung1:  Es gibt in der Mathematik viele Zuordnungen die nicht eindeutig sind, zum Beispiel die Quadratwurzelfunktion und die allgemeinen trigonometrischen Arkusfunktionen. Die definitorische Behandlung mehrdeutiger Funktionen weicht zum Teil von der für eindeutige ab und wird im vorliegenden Artikel außer Betracht gelassen.

Anmerkung2:  Viele Autoren lassen nur Mengen geordneter Paare als Funktionen zu, andere nehmen diese Einschränkung nicht vor, lassen also auch echte Klassen geordneter Paare als Funktionen gelten. Im letzteren Fall sagt man oft auch Operator für Funktion. Alle nachstehend gegebenen Definitionen und Notationen gelten sowohl für Funktionen die Mengen sind als auch für Funktionen die echte Klassen sind.

• Die Funktionsargumente und die Funktionswerte einer Funktion $f$ bilden ihren Definitionsbereich, $\mathrm {D} \!_{f}$, respektive ihren Wertebereich, $\mathrm {W} \!\!_{f}$.
  

Anmerkung3:  Die hier verwendete Nomenklatur ist kein Standard, fast jeder Autor hat seine eigene, teils anderen widersprechende. Häufig sind für das Begriffspaar Definitionsbereich-Wertebereich die Bezeichnungen Argumentebereich-Wertebereich, Urbildbereich-Bildbereich, Domain-Codomain anzutreffen, auch mit dem Zusatz “menge” oder “klasse” statt “bereich”, wenn der Autor nur Funktionen zulässt, die Mengen respektive auch Klassen sind Die zugehörigen formelhaften Notierungen nehmen den Anfangsbuchstaben oder eine Abkürzung des Begriffnamens und setzen dahinter in Klammern oder als Index den Funktionsnamen, zum Beispiel $\operatorname {C} (f),\,\operatorname {Cod} _{f}$.

• Eine Funktion heißt eineindeutig oder injektiv, wenn sie keine verschiedenen Elemente mit gleicher rechter Komponente enthält.
  

Klassifikation

• Die Aussage: $f$ ist eine Funktion aus $A$ in $B$, so notiert: $f\colon A\longrightarrow B$, besagt, dass $\mathrm {D} \!_{f}\!\subseteq \!A$ und $\mathrm {W} \!\!_{f}\!\subseteq \!B$. $A$ und $B$ geben einen Quellbereich respektive Zielbereich für $f$ an.
  

• Man nennt $f$ eine totale, partielle, surjektive Funktion aus $A$ in $B$, je nachdem $\mathrm {D} \!_{f}\!=\!A,\;\mathrm {D} \!_{f}\!\subset \!A,\;\mathrm {W} \!\!_{f}\!=\!B$   und notiert dies, indem man auf/unter den Pfeil Namen oder Abkürzungen zutreffender Attribute setzt – bijektiv steht für die Attributkombination injektiv surjektiv. Auch werden oft spezielle Pfeile verwendet:

$\to$    $\twoheadrightarrow$    $\rightarrowtail$    $\twoheadrightarrow \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\rightarrowtail$    $\rightsquigarrow$     anstelle von    ${\xrightarrow[{\color {white}^{\mathrm {surj} }}]{_{\mathrm {\,total\,} }}}$    ${\xrightarrow[{^{\mathrm {surj} }}]{_{\mathrm {\,total\,} }}}$    ${\xrightarrow[{^{\mathrm {inj} }}]{_{\mathrm {\,total\,} }}}$    ${\xrightarrow[{^{\mathrm {bij} }}]{_{\mathrm {\,total\,} }}}$    ${\xrightarrow[{\color {white}^{\mathrm {surj} }}]{_{\mathrm {\,\,part\,\,} }}}$

Anmerkung4:  Es finden sich Autoren, die Funktionen als Tripel $(g,A,B)$ oder $(A,g,B)$ definieren, wobei $g\colon A\longrightarrow B$ eine Paarfunktion ist. $g,A,B$ werden Graph, Quellbereich respektive Zielbereich der Tripelfunktion genannt. Den Graph einer Tripelfunktion $f$ bezeichnet man mit $\mathrm {G} _{f}$. Eine Tripelfunktion heißt total, wenn ihr Graph eine totale Funktion aus ihrem Quellbereich in ihr Zielbereich ist. Entsprechend sind die Attribute partiell, surjektiv, injektiv, bijektiv für Tripelfunktionen definiert. Für totale Tripelfunktionen ist der Quellbereich vom Graph eindeutig bestimmt, so dass man oft auf die Angabe des Quellbereichs verzichtet, also einfach das geordnete Paar $(g,B)$ für die Tripelfunktion $(g,\mathrm {D} \!_{\,g},B)$ nimmt. Manche Autoren lassen nur totale Tripelfunktionen als Funktionen gelten.

Man sagt
für totale Funktion aus $A$ in $B$	auch	Funktion von $A$ in $B$
für surjektive Funktion aus $A$ in $B$	auch	Funktion aus $A$ auf $B$
für Funktion von $A$ in $A$	auch	Funktion auf $A$

Funktionsbeschreibungen

Zur Beschreibung einer totalen Funktion $f$ aus $A$ in $B$ ist es üblich, sich eines der Formen

• $f\colon A\to B,\,x\mapsto {\mathfrak {T}}_{x}$
• $A\to B,\,f(x):={\mathfrak {T}}_{x}$
• $A\to B,\,{\mathfrak {K}}_{x}:={\mathfrak {T}}_{x}$
  

zu bedienen, wobei ${\mathfrak {T}}_{x}$ ein für jedes $x\in A$ definierter Term ist, der ein Element von $B$ angibt und ${\mathfrak {K}}_{x}$ ein die Variable $x$ enthaltendes Zeichenkonstrukt, zum Beispiel "${\sqrt {x}}$"

Diese Formen beschreiben die Funktion $\{(x,{\mathfrak {T}}_{x})\mid x\in A\}$.

Beispiele:	Quadratwurzelfunktion:	$\mathbb {R} _{0}^{+}\!\!\to \mathbb {R} ,{\sqrt {x}}:={\boldsymbol {\iota }}\,y\colon \!(y\in \mathbb {R} _{0}^{+}\!\wedge y^{2}=x)$    ( "${\boldsymbol {\iota }}\,x\colon \!\varphi$" ist zu lesen: "dasjenige $x$, für welches die Aussage $\varphi$ gilt" )
	Betragsfunktion:	$\mathbb {R} \!\to \mathbb {R} ,|x|:={\sqrt {x^{2}}}$
	Tupellängen-Operator:	$\mathbb {T} \to \mathbb {N} ,\,^{\mathrm {L} }t:={\text{Länge von }}t$   ( $\mathbb {T}$ = Klasse aller Tupel )

Geht aus dem Kontext hervor, welcher Definitions- und Zielbereich zugrunde liegt, dann verzichtet man auf deren Angabe. Zum Beispiel beschreibt man in der reellzahligen Analysis die Betragsfunktion einfach so: $|x|:={\sqrt {x^{2}}}$

Inverse einer Funktion

Durch Austauschen der Komponenten in den Elementen einer Funktion, $f$, erhält man die Inverse von $f$, so notiert: $f^{-1}$. Im Allgemeinen ist $f^{-1}$ keine eindeutige Zuordnung, also keine Funktion, sie ist es jedoch, wenn $f$ injektiv ist.

Mehrstellige Funktion

Sind alle Elemente im Definitionsbereich von $f$ $n$-Tupel, dann nennt man $f$ eine $n$-stellige Funktion oder eine Funktion mit $n$ Argumenten, wenn $n$=2 auch binäre Funktion und schreibt statt $f((x_{1},\ldots x_{n}))$ einfach $f(x_{1},\ldots x_{n})$ und für $f(x_{1},x_{2})$ auch $x_{1}fx_{2}$, insbesondere dann, wenn als Funktionsname ein Symbol dient.

Funktionseinschränkung

• Die Einschränkung des Definitionsbereichs von $f$ auf $A$ ist die Funktion $\{x\in f\mid \,\!^{\mathrm {li} }\!x\in A\}$, so notiert: $f_{|A}$   ( $^{\mathrm {li} }\!x,\,\!^{\mathrm {re} }\!x$  = linke,rechte Komponente von $x$ )

• Die Einschränkung des Wertebereichs von $f$ auf $B$ ist die Funktion $\{x\in f\mid \,\!^{\mathrm {re} }\!x\in B\}$, so notiert: $f_{|\to B}$
  

Für $f_{|A}\,_{|\to B}$ schreibt man auch kurz: $f_{|A\to B}$

Beispiele:   Einschränkungen der Funktion $P\colon \mathbb {R} ^{3}\!\to \mathbb {R} ,(x,y,z)\mapsto {\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$

auf die $x$-Achse:    $P_{|\{(x,0,0)\,{\boldsymbol {|}}\,x\in \,\mathbb {R} \}}$

auf die Oberfläche der Einheitskugel um den Mittelpunkt:    $P_{|\to \{1\}}$

auf den Einheitskreis um den Mittelpunkt der $x,y$-Ebene:    $P_{|\{(x,y,0)\,{\boldsymbol {|}}\,x,y\in \mathbb {R} \}\;\to \;\{1\}}$

Funktionsverkettung

Es seien $f\colon A\to B$,  $g\colon B\to C$. Die Funktion $g\!\circ \!f\colon A\to C,x\mapsto g(f(x))$ heißt Verkettung von $f$ und $g$.

Identität, Involution, Permutation, idempotente Funktion

Eine Funktion $f$ auf $A$ heißt

Identität auf $A$, so notiert: $\operatorname {id} _{A}$, wenn $f(x)=x$ für alle $x\in A$.	Beispiele
Involution auf $A$, wenn $f\not =\operatorname {id} _{A}$ und $f\!\circ \!f=\operatorname {id} _{A}$.	$f\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} ,i\mapsto -i$
Permutation auf $A$, wenn $f$ eine bijektive Funktion auf $A$ ist.	$f\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} ,i\mapsto i\!+\!1$
idempotente Funktion auf $A$, wenn $f\!\circ \!f=f$.	$f\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} ,i\mapsto |i|$

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