Bernoullische Differentialgleichung

Die Bernoullische Differentialgleichung (nach Jakob I Bernoulli) ist eine nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung der Form

Durch die Transformation

kann man sie auf die lineare Differentialgleichung

zurückführen.

Die Gleichung ist nicht zu verwechseln mit der Bernoulli-Gleichung der Strömungsmechanik.

Satz über die Transformation der Bernoullischen Differentialgleichung

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Sei   und

 

eine Lösung der linearen Differentialgleichung

 

Dann ist

 

die Lösung der Bernoullischen Differentialgleichung

 

Weiter besitzt die Bernoullische Differentialgleichung für jedes   trivialerweise   als Lösung für  .

Es gilt

 

während der Anfangswert trivialerweise erfüllt ist.

 

Beispiel: Logistische Differentialgleichung

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Die logistische Differentialgleichung

 

ist eine Bernoullische Differentialgleichung mit  . Löst man daher

 

ergibt sich

 

Da   für alle   mit

 

ist

 

die Lösung obiger Gleichung auf  .

Literatur

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  • Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Teubner, Stuttgart; Leipzig; Wiesbaden 2004, ISBN 3-519-32227-7