Bernstein-Funktion

nicht-negative glatte Funktion

Eine Bernstein-Funktion ist eine nicht-negative glatte Funktion, deren Ableitungen ein alternierendes Vorzeichen haben, das heißt sie sind komplett-monoton. Sie haben ihren Ursprung in der Potentialtheorie, werden aber auch in der Funktionalanalysis und der Stochastik untersucht. Sie tauchen insbesondere im Zusammenhang mit der Subordination von -Halbgruppen auf Banach-Räumen oder lokalkonvexen Räumen auf, da der infinitesimale Erzeuger einer subordinierten Gruppe durch solche Funktionen mit dem Erzeuger der ursprünglichen Halbgruppe beschrieben werden kann.[1]

Durch die Lévy-Khinchin-Formel können Bernstein-Funktionen eindeutig durch ein Lévy-Tripel charakterisiert werden.

Die Bernstein-Funktionen sind nach Sergei Natanowitsch Bernstein benannt, sie sind aber auch unter vielen weiteren Namen bekannt, darunter Laplace-Exponenten oder negativ-definite Funktionen.

Bernstein-Funktion

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Eine Funktion   ist eine Bernstein-Funktion, falls

  •   ist,
  •   für alle   und   gilt.[2]

Lévy-Khinchin-Darstellung

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Folgendes ist äquivalent:

  •   ist eine Bernstein-Funktion.
  • Es existiert ein eindeutiges Lévy-Tripel  , d. h. es existieren zwei Konstanten   und ein positives Radonmaß   auf   mit
 

so dass

 

für alle  . Letztere Darstellung nennt man Lévy-Khinchin-Darstellung.[2]

Literatur

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  • René L. Schilling, Renming Song und Zoran Vondracek: Bernstein Functions: Theory and Applications. Hrsg.: De Gruyter. Berlin, Boston 2012, doi:10.1515/9783110269338.

Einzelnachweise

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  1. Karsten Kruse, Jan Meichsner und Christian Seifert: Subordination for sequentially equicontinuous equibounded  -semigroups. In: Springer Science and Business Media (Hrsg.): Journal of Evolution Equations. Band 21, Nr. 2, 2021, S. 2665--2690, doi:10.1007/s00028-021-00700-7.
  2. a b René L. Schilling, Renming Song und Zoran Vondracek: Bernstein Functions: Theory and Applications. Hrsg.: De Gruyter. Berlin, Boston 2012, S. 21, doi:10.1515/9783110269338.