Die Bieberbachschen Sätze zeigen in der Kristallographie, dass es in jeder Dimension nur eine endliche Anzahl von Raumgruppen gibt. Ludwig Bieberbach löste damit 1910 das 18. der 23 mathematischen Probleme von David Hilbert.

Kristallographische Gruppen

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Die Isometriegruppe   des  -dimensionalen euklidischen Raumes   ist die Gruppe

 ,

wobei   die orthogonale Gruppe, bestehend aus Spiegelungen und Drehungen um den Nullpunkt, ist und   als Gruppe der Verschiebungen des   aufgefasst wird.

Eine kristallographische Gruppe vom Rang   ist eine diskrete und kokompakte Untergruppe

 .

Dabei bedeutet Kokompaktheit, dass die Gruppe einen kompakten Fundamentalbereich hat.

1. Wenn   eine kristallographische Gruppe vom Rang   ist, dann ist die Menge aller Verschiebungen in   eine maximale abelsche Untergruppe von endlichem Index.

2. Es gibt nur eine endliche Anzahl von Isomorphieklassen kristallographischer Gruppen vom Rang  .

3. Zwei kristallographische Gruppen   sind dann und nur dann isomorph, wenn sie innerhalb der Gruppe der affinen Transformationen   konjugiert sind, d. h. wenn es ein   mit   gibt.

Satz von Zassenhaus

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Der 1. Bieberbachsche Satz hat auch eine Umkehrung, mit der kristallographische Gruppen abstrakt innerhalb der Gruppentheorie charakterisiert werden können. Sie wurde 1947 von Zassenhaus bewiesen.

Satz: Eine Gruppe   ist genau dann eine kristallographische Gruppe vom Rang  , wenn sie eine normale maximale abelsche Untergruppe   von endlichem Index hat.

Literatur

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  • L. Bieberbach: Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Räume. (Erste Abhandlung.). Math. Ann. 70, 297–336 (1911). online
  • L. Bieberbach: Über die Bewegungsgruppen der euklidischen Räume. (Zweite Abhandlung.) Die Gruppen mit einem endlichen Fundamentalbereich. Math. Ann. 72, 400–412 (1912). online
  • H. Zassenhaus: Über einen Algorithmus zur Bestimmung der Raumgruppen. Comment. Math. Helv. 21, 117–141 (1948).