Birman-Sequenz

In der niedrig-dimensionalen Topologie ist die Birman-Sequenz ein fundamentales Hilfsmittel bei der Untersuchung von Abbildungsklassengruppen. Sie ist nach der US-amerikanischen Mathematikerin Joan Birman benannt.

Abbildungsklassengruppen

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Für eine geschlossene, orientierbare Fläche $F$ vom Geschlecht $g$ mit $r$ Punkten $x_{1},\ldots ,x_{r}\in F$ definiert man

$\Gamma _{g,r}:=Mod(F,\left\{x_{1},\ldots ,x_{r}\right\})$

als die Gruppe der Homotopieklassen von Homöomorphismen $\phi \colon F\to F$ mit $\phi (x_{1})=x_{1},\ldots ,\phi (x_{r})=x_{r}$, wobei auch die Homotopien die Punkte $x_{1},\ldots ,x_{r}$ festlassen sollen. Insbesondere erhält man für $r=0$ die "klassische" Abbildungsklassengruppe $\Gamma _{g}:=Mod(F)$.

Die Birman-Sequenz wird vor allem für Induktionsbeweise von Eigenschaften von $\Gamma _{g,r}$ mittels Induktion nach $r$ genutzt. Aber auch in umgekehrter Richtung kann sie eingesetzt werden. Zum Beispiel erlaubt der Satz von Madsen-Weiss die Berechnung der stabilen Homologie von $\Gamma _{g,1}$ und mittels der Birman-Sequenz kann man dann einen Bezug zur Homologie von $\Gamma _{g}$ herstellen.

Birman-Sequenz

Es sei $F$ eine kompakte, orientierbare Fläche vom Geschlecht $g$ und seien $x_{1},\ldots ,x_{r}$ Punkte auf $F$. Dann hat man eine exakte Sequenz

$1\to \pi _{1}C(F,r)\to \Gamma _{g,r}\to \Gamma _{g}\to 1,$

wobei $C(F,r)$ den Konfigurationsraum von $r$ Punkten auf $F$ bezeichnet, also den Quotienten von $\left\{(c_{1},\ldots ,c_{r})\in F^{r}\colon c_{i}\not =c_{j}\ \forall \ i\not =j\right\}$ unter der Wirkung der symmetrischen Gruppe $S_{r}$.

Häufig wird auch nur der Spezialfall $r=1$, also die exakte Sequenz

$1\to \pi _{1}F\to \Gamma _{g,1}\to \Gamma _{g}\to 1$

als Birman-Sequenz bezeichnet.

Die Abbildungen $\pi _{1}F\to \Gamma _{g,1}$ und allgemein $\pi _{1}C(F,r)\to \Gamma _{g,r}$ werden durch die „Point-Pushing Map“ definiert.

3-Mannigfaltigkeiten

Es existiert auch eine Birman-Sequenz für hyperbolische 3-Mannigfaltigkeiten, aber nicht für Seifert-Faserungen.

Literatur

• Joan Birman: Braids, links, and mapping class groups. Annals of Mathematics Studies, No. 82. Princeton University Press, Princeton, N.J.; University of Tokyo Press, Tokyo, 1974.
• Benson Farb, Dan Margalit: A primer on mapping class groups. Princeton Mathematical Series, 49. Princeton University Press, Princeton, NJ, 2012. ISBN 978-0-691-14794-9