Borel-Isomorphie

Beziehungen zwischen zwei Messräumen

Als Borel-Isomorphie wird eine Beziehung zwischen zwei Messräumen in der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, bezeichnet. Sind zwei Messräume Borel-isomorph, so sind sie aus maßtheoretischer Sicht gleich. Das erlaubt es, Argumentationen und Strukturen von dem einen Raum auf den anderen Raum zu übertragen.

Definition

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Gegeben seien zwei Messräume  , wobei als σ-Algebra jeweils die entsprechende Borelsche σ-Algebra gewählt sei.

Dann heißen die beiden Messräume Borel-isomorph, wenn es eine Funktion

 

gibt, die folgende Eigenschaften besitzt:

Dabei heißt eine Funktion   bimessbar, wenn sowohl   als auch die Umkehrfunktion   messbar sind.

Borel-Räume

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Wichtiges Beispiel für Borel-Isomorphie sind die sogenannten Borel-Räume. Dies sind Messräume, die Borel-isomorph zu einer Borel-messbaren Teilmenge der reellen Zahlen (versehen mit der entsprechenden Spur- -Algebra der Borelschen σ-Algebra auf  ) sind.