Borelmaß

Begriff aus der Maßtheorie (Mathematik)

Ein Borel-Maß ist ein Begriff aus der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, das sich mit verallgemeinerten Volumenbegriffen beschäftigt. Anschaulich zeichnen sich Borel-Maße dadurch aus, dass jeder Punkt in eine Menge mit endlichem Maß eingehüllt werden kann und sie auf einer speziellen σ-Algebra definiert sind. Borel-Maße bilden wichtige Grundbegriffe bei der Untersuchung von Maßen auf Topologischen Räumen. Sie sind nach Émile Borel benannt.

Bei Verwendung von Borel-Maßen ist Vorsicht geboten, da diese in der Literatur, insbesondere im angelsächsischen Sprachraum, nicht einheitlich definiert werden.

Definition

Bearbeiten

Gegeben sei ein Hausdorff-Raum   mit borelscher σ-Algebra  . Ein Maß

 

heißt ein Borel-Maß, wenn für jedes   eine offene Umgebung   von   existiert mit  .[1]

Somit sind Borel-Maße lokal endliche Maße auf der Borelschen σ-Algebra. Ein Spezialfall hiervon ist das Lebesgue-Borel-Maß.

Weitere Bedeutungen

Bearbeiten

Der Begriff wird in der Fachliteratur nicht einheitlich verwendet[2]. Manchmal werden auch

  • das Maß auf der borelschen σ-Algebra auf  , das jedem Intervall   das Maß   zuordnet

als Borelmaß bezeichnet. Das Maß im dritten Fall wird meist jedoch als Borel-Lebesgue-Maß bezeichnet.

Soweit nicht anders erwähnt bespricht dieser Artikel die Eigenschaften von Borel-Maßen in dem oben in der Definition angegebenen Sinn.

Eigenschaften

Bearbeiten

Für einen lokal kompakten Hausdorff-Raum   ist die lokale Endlichkeit äquivalent dazu, dass jede kompakte Menge endliches Maß besitzt.

Denn ist  , so existiert aufgrund der Lokalkompaktheit zu einer Umgebung   ein kompaktes   und eine offene Umgebung   von   mit  . Die lokale Endlichkeit folgt nun aus der Monotonie des Maßes, es ist dann   und   ist offen wie gefordert.

Umgekehrt folgt aus der lokalen Endlichkeit, dass jede kompakte Menge   endliches Maß hat: Für   sei   eine offene Umgebung von   mit  . Dann ist   eine offene Überdeckung von  . Aus der Definition der Kompaktheit folgt, dass eine endliche Teilüberdeckung   existiert; damit ist  .

Diese Eigenschaft wird auch zur Definition von Borel-Maßen auf lokal kompakten Hausdorff-Räumen herangezogen, stimmt aber im allgemeinen Fall nicht mit der lokalen Endlichkeit überein.

Verwandte Konzepte

Bearbeiten

Moderate Maße

Bearbeiten

Ein Borel-Maß heißt ein moderates Maß, wenn eine Folge von offenen Mengen   existiert, so dass

 

ist und   für alle   gilt. Moderate Maße sind insbesondere deshalb von Interesse, da für sie allgemeinere Kriterien gelten, unter denen ein Borel-Maß ein reguläres Maß ist.

Radon-Maße

Bearbeiten

Borel-Maße nennt man Radon-Maße, wenn sie von innen regulär sind, es also gilt, dass

 

für alle  . Wie auch Borel-Maße wird die Bezeichnung "Radon-Maß" in der Literatur nicht einheitlich verwendet und sollte daher immer mit der genauen Definition im gegebenen Kontext abgeglichen werden.

Reguläre Borel-Maße

Bearbeiten

Ein Borel-Maß wird ein reguläres Borel-Maß genannt, wenn es zusätzlich noch ein Reguläres Maß ist. Somit ist jedes von außen reguläre Radon-Maß ein reguläres Borel-Maß. Da aber für jede Verwendung des Begriffs "Borel-Maß" eigene Regularitäts-Begriffe existieren, ist auch hier Vorsicht geboten und ein Abgleich mit den Definitionen im jeweiligen Kontext notwendig.

Literatur

Bearbeiten

Einzelnachweise

Bearbeiten
  1. Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2009, S. 313.
  2. V.V. Sazonov: Borel Measure. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).
  3. Lawrence C. Evans, Ronald F. Gariepy: Measure Theory and Fine Properties of Functions. CRC-Press, Boca Raton FL u. a. 1992, ISBN 0-8493-7157-0.
  4. Eric W. Weisstein: Borel Measure. In: MathWorld (englisch).