Breit-Rabi-Formel

Die Breit-Rabi-Formel (nach Gregory Breit und Isidor Isaac Rabi (1931)) beschreibt in der Atomphysik die Hyperfeinstruktur-Aufspaltung des Wasserstoffatoms und wasserstoffähnlicher Atome (mit Valenzelektron in der s-Schale) in Abhängigkeit eines externen Magnetfeldes. Ihr Nutzen besteht vor allem darin, dass sie auch im Übergangsbereich zwischen schwachen (Zeeman-Effekt) und starken Feldstärken (Paschen-Back-Effekt) quantitativ gültig ist. Dies ist beim Wasserstoffatom von besonderer Bedeutung, weil dessen Kern- und Hüllendrehimpuls schon bei geringen Flussdichten im Bereich $B\approx 0{,}05\,\mathrm {T}$ entkoppeln.

Die Breit-Rabi-Formel ist ein Ausdruck für die Energieverschiebung eines Niveaus mit allgemeinem Kernspin $I$ und magnetischer Quantenzahl des Gesamtdrehimpulses $m_{F}$, jedoch einem vorgegebenen Hüllendrehimpuls $J={\tfrac {1}{2}}$. Sie lautet:

${W_{I\pm {\frac {1}{2}},m_{F}}=-{\frac {A}{4}}+g_{I}m_{F}\mu _{\mathrm {K} }B\pm {\frac {A(2I+1)}{4}}{\sqrt {1+{\frac {8m_{F}\left(g_{J}\mu _{\mathrm {B} }-g_{I}\mu _{\mathrm {K} }\right)}{(2I+1)^{2}A}}B+\left(2{\frac {g_{J}\mu _{\mathrm {B} }-g_{I}\mu _{\mathrm {K} }}{A(2I+1)}}B\right)^{2}}}}$

Dabei ist $A$ die atomspezifische Hyperfeinstruktur-Kopplungskonstante, $\mu _{\mathrm {B} }$ das Bohrsche und $\mu _{\mathrm {K} }$ das Kernmagneton. $g_{J}$ und $g_{I}$ sind die Landé-Faktoren des Hüllendrehimpulses $J$ bzw. Kernspins $I$.

Herleitung für den Grundzustand des Wasserstoffatoms

Die Drehimpulse werden hier mit den Drehimpulsquantenzahlen beschrieben, die dem Betrag eines Drehimpulses in Einheiten der reduzierten Planck-Konstante $\hbar$ entsprechen. Das Wasserstoffatoms hat einen Kernspin ${\textstyle I={\frac {|{\vec {I}}|}{\hbar }}={\frac {1}{2}}}$. Das einzige Elektron hat im Grundzustand ($l=0$) nur einen Spin-Drehimpuls, der gleichzeitig auch der gesamte Hüllendrehimpuls ${\textstyle J={\frac {|{\vec {J}}|}{\hbar }}={\frac {1}{2}}}$ ist. Kernspin und Hüllendrehimpuls koppeln gemäß der Drehimpulsalgebra zum Gesamtdrehimpuls ${\vec {F}}={\vec {I}}+{\vec {J}}$. Die nun folgende Herleitung für diesen einfachsten Fall lässt sich für verschiedene Werte von $J$ und $I$ stark verallgemeinern. Das grundsätzliche Verfahren wird in der hier vorgestellten Form jedoch gut ersichtlich.

Der Hamiltonoperator der Hyperfeinstruktur mit einem B-Feld in z-Richtung ist:

${\hat {H}}_{\mathrm {HFS} }=A{\frac {{\vec {I}}\cdot {\vec {J}}}{\hbar ^{2}}}+\left(g_{J}\mu _{\mathrm {B} }{\frac {J_{z}}{\hbar }}-g_{I}\mu _{\mathrm {K} }{\frac {I_{z}}{\hbar }}\right)B$

Dieser Hamilton-Operator wird nun in einer geeigneten Basis $|JIFm_{F}\rangle$ diagonalisiert, die sich aus "guten Quantenzahlen" zusammensetzt; mit der Projektion des Drehimpulses ${\vec {F}}$ auf die Richtung des Magnetfeldes ${\textstyle m_{F}=m_{J}+m_{I}}$ (magnetische Quantenzahl). Der erste Summand des obigen Hamiltonian ist in dieser Basis diagonal und lässt sich ausdrücken als

$A{\frac {{\vec {I}}\cdot {\vec {J}}}{\hbar ^{2}}}={\frac {A}{2}}\left(F(F+1)-I(I+1)-J(J+1)\right)$

Die $z$-Komponenten $I_{z}$ und $J_{z}$ lassen sich mit dem Wigner-Eckart-Theorem ebenfalls in Matrix-Form darstellen. Die Zeilen bzw. Spalten sind links bzw. oben mit Indizes versehen, die als $(F|m_{F})$ zu lesen sind. Abseits der Diagonalen sind fast alle Einträge null, außer denen mit $m_{F}=0$, die mischen.

${\frac {\langle JIF'm_{F}'|J_{z}|JIFm_{F}\rangle }{\hbar }}=\left({\begin{array}{c|cccc}&\left(0|0\right)&\left(1|-1\right)&\left(1|0\right)&\left(1|1\right)\\\hline \left(0|0\right)&0&0&{\frac {1}{2}}&0\\\left(1|-1\right)&0&-{\frac {1}{2}}&0&0\\\left(1|0\right)&{\frac {1}{2}}&0&0&0\\\left(1|1\right)&0&0&0&{\frac {1}{2}}\end{array}}\right)$

Analog folgt für die $z$-Komponente des Kernspins:

${\frac {\langle JIF'm_{F}'|I_{z}|JIFm_{F}\rangle }{\hbar }}=\left({\begin{array}{c|cccc}&\left(0|0\right)&\left(1|-1\right)&\left(1|0\right)&\left(1|1\right)\\\hline \left(0|0\right)&0&0&-{\frac {1}{2}}&0\\\left(1|-1\right)&0&-{\frac {1}{2}}&0&0\\\left(1|0\right)&-{\frac {1}{2}}&0&0&0\\\left(1|1\right)&0&0&0&{\frac {1}{2}}\end{array}}\right)$

Addiert man alle drei einzeln in Matrix-Darstellung gebrachten Terme auf und setzt $I=J={\frac {1}{2}}$ sowie $g_{J}\approx 2$ für das Wasserstoffatom ein, dann ergibt sich für den Hamiltonian:

${\hat {H}}_{\mathrm {HFS} }=\left({\begin{array}{c|cccc}&\left(0|0\right)&\left(1|-1\right)&\left(1|0\right)&\left(1|1\right)\\\hline (0|0)&-{\frac {3A}{4}}&0&\left(\mu _{\mathrm {B} }+{\frac {g_{I}}{2}}\mu _{\mathrm {K} }\right)B&0\\(1|-1)&0&{\frac {A}{4}}-\left(\mu _{\mathrm {B} }-{\frac {g_{I}}{2}}\mu _{\mathrm {K} }\right)B&0&0\\(1|0)&\left(\mu _{\mathrm {B} }+{\frac {g_{I}}{2}}\mu _{\mathrm {K} }\right)B&0&{\frac {A}{4}}&0\\(1|1)&0&0&0&{\frac {A}{4}}+\left(\mu _{\mathrm {B} }-{\frac {g_{I}}{2}}\mu _{\mathrm {K} }\right)B\end{array}}\right)$

Die Eigenwerte dieser Matrix ergeben unter Vernachlässigung quadratischer Terme in $\mu _{\mathrm {K} }$ für allgemeine Werte für $I,F$ und $m_{F}$ gerade die oben genannte Breit-Rabi-Formel.