Brieskorn-Mannigfaltigkeit

In der Mathematik bezeichnet man als Brieskorn-Mannigfaltigkeit $\Sigma (k_{1},\ldots ,k_{n})$ die $(2n-3)$-dimensionale Mannigfaltigkeit, die als Schnittmenge der im $\mathbb {C} ^{n}$ durch die Gleichung

$z_{1}^{k_{1}}+\ldots +z_{n}^{k_{n}}=0$ (mit ganzen Zahlen $k_{1},\ldots ,k_{n}\geq 2$)

gegebenen Hyperfläche mit einer durch die Gleichung

$\vert z_{1}\vert ^{2}+\ldots +\vert z_{n}\vert ^{2}=\epsilon$ (für ein kleines $\epsilon >0$)

gegebenen $\epsilon$-Sphäre um den Nullpunkt (die Singularität der Hyperfläche) gegeben ist.

Brieskorn-Mannigfaltigkeiten sind $(n-3)$-zusammenhängend, für $n\geq 4$ sind sie also genau dann homöomorph zur $S^{2n-3}$, wenn sie eine Homologiesphäre sind. Man spricht dann von Brieskorn-Sphären. Brieskorn gibt eine notwendige und hinreichende Bedingung, wann eine Brieskorn-Mannigfaltigkeit eine Homologiesphäre und damit eine Sphäre ist. Andererseits hat Milnor gezeigt, dass zahlreiche Brieskorn-Sphären nicht diffeomorph zur $S^{2n-3}$ sind. Zum Beispiel gibt $\Sigma (2,2,2,3,6k-1)$ für $k=1,\ldots ,28$ die 28 Differentialstrukturen auf der $S^{7}$.

Für $n=3$ sind die Brieskorn-Sphären $\Sigma (p,q,r)$ Homologiesphären, aber im Allgemeinen keine Sphären. Zum Beispiel ist $\Sigma (2,3,5)$ die Poincaré-Homologiesphäre.