Das Brown-Maß (nicht zu verwechseln mit dem brownschen Maß) ist ein Begriff aus der Funktionalanalysis, der das Spektralmaß für Operatoren in der Typ-II-Von-Neumann-Algebra verallgemeinert. Der Begriff wurde 1983 von Lawrence G. Brown eingeführt.[1] Nach seiner Entdeckung fiel der Begriff in Vergessenheit, bis er 1999 von Uffe Haagerup und Flemming Larsen wiederbelebt und seither intensiv untersucht wurde.[2] Das Brown-Maß findet unter anderem Anwendung in der Theorie der Zufallsmatrizen.

Brown-Maß

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Sei   eine von-Neumann-Algebra (auch  -Algebra genannt) mit einem treuen, normalen, Spurzustand   (englisch faithful, normal, tracial). Für   sei   das Spektralmaß von   bezüglich  .

Man nennt folgende Operatordeterminante Fuglede-Kadison-Determinante

 

Brown bewies, dass ein eindeutiges Wahrscheinlichkeitsmaß   auf   mit kompaktem Träger und der Eigenschaft

 

existiert. Dieses Maß   nennt man Brown-Maß.[3]

Literatur

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  • Uffe Haagerup und Flemming Larsen: Brown’s spectral distribution measure for R-diagonal elements in finite von Neumann algebras. In: Journal of Functional Analysis. Band 176, Nr. 2, 1999, S. 331–367 (englisch, sciencedirect.com).
  • Uffe Haagerup und Hanne Schultz: Brown Measures of Unbounded Operators Affiliated with a Finite von Neumann Algebra. 2006, doi:10.48550/ARXIV.MATH/0605251, arxiv:math/0605251 (englisch).
  • James A. Mingo und Roland Speicher: Free probability and random matrices. In: Fields Institute Monographs. Vol. 35. Springer Verlag, 2017 (englisch).

Einzelnachweise

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  1. L. G. Brown: Lidskii’s Theorem in the Type II Case. In: Geometric methods in operator algebras in Pitman Res. notes in Math. Kyoto 1986, S. 1–35 (englisch).
  2. Uffe Haagerup und Flemming Larsen: Brown’s spectral distribution measure for R-diagonal elements in finite von Neumann algebras. In: Journal of Functional Analysis. Band 176, Nr. 2, 1999, S. 331–367 (englisch).
  3. Uffe Haagerup und Hanne Schultz: Brown Measures of Unbounded Operators Affiliated with a Finite von Neumann Algebra. 2006, S. 1, doi:10.48550/ARXIV.MATH/0605251, arxiv:math/0605251 (englisch).