Liminale C*-Algebra

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Liminale C*-Algebren sind eine in der Mathematik betrachtete Klasse von C*-Algebren. Hierbei handelt es sich um die „Bausteine“, aus denen die postliminalen oder Typ-I-C*-Algebren aufgebaut sind.

Die liminalen C*-Algebren werden von manchen Autoren auch CCR-Algebren (CCR steht für completely continuous representations, das heißt kompakte Darstellungen) genannt, unter diesem Namen wurden sie 1951 von Irving Kaplansky eingeführt. Es besteht jedoch dann ein Namenskonflikt zu in der Quantenfeldtheorie betrachteten Algebren (CCR steht dort für canonical commutation relations, das heißt kanonische Vertauschungsrelationen). Wir schließen uns hier der auf Jacques Dixmier zurückgehenden Benennung an (frz.: liminaire, engl.: liminal).

Definition

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Eine C*-Algebra heißt liminal, wenn die Bilder irreduzibler Darstellungen aus kompakten Operatoren bestehen.

Beispiele

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  • Duale C*-Algebren sind liminal.
  • Kommutative C*-Algebren sind liminal, denn jede irreduzible Darstellung ist eindimensional. Die kommutative C*-Algebra   der stetigen Funktionen   ist liminal, aber nicht dual.
  • Ist   lokalkompakt, so ist   liminal, denn jede irreduzible Darstellung hat bis auf Äquivalenz die Form   für ein  .
  • Es sei   ein unendlich-dimensionaler Hilbertraum. Dann ist   nicht liminal, denn   ist irreduzibel und hat nicht-kompakte Operatoren im Bild.

Das größte liminale Ideal

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Ist   eine C*-Algebra, so ist

 

ein abgeschlossenes, zweiseitiges Ideal, das liminal ist und jedes andere liminale Ideal enthält, kurz das größte liminale Ideal. Demnach ist eine C*-Algebra genau dann liminal, wenn sie mit ihrem größten liminalen Ideal zusammenfällt. Der Quotient   kann durchaus wieder ein von   verschiedenes liminales Ideal enthalten; diese Beobachtung führt zum wichtigen Begriff der postliminalen C*-Algebra.

Eigenschaften

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  • Jede Unter-C*-Algebra einer liminalen C*-Algebra ist wieder liminal.
  • Ist   eine liminale C*-Algebra und   ein abgeschlossenes zweiseitiges Ideal, so ist   wieder liminal.
  • Ist   eine liminale C*-Algebra und   eine irreduzible Darstellung, so gilt  . Dabei ist   die Algebra der kompakten Operatoren auf  , die Definition verlangte nur die Inklusion  .

Antiliminale C*-Algebren

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Eine C*-Algebra   heißt antiliminal, wenn das einzige liminale Ideal in   das Nullideal ist, das heißt, wenn das größte liminale Ideal   ist. Die Calkin-Algebra ist ein Beispiel für eine antiliminale C*-Algebra.

C*-Algebren mit stetiger Spur

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Für eine C*-Algebra   sei   das Spektrum von  , das heißt die Menge aller Äquivalenzklassen   irreduzibler Darstellungen   von   (siehe Hilbertraum-Darstellung). Ist   und   positiv, so ist   ein positiver kompakter Operator auf   und man kann die Spur   bilden, wobei diese Zahl nicht von   sondern nur von der Äquivalenzklasse   abhängt. Sei weiter

 .

Dann ist die Menge aller  , für die   gilt, ein zweiseitiges Ideal in  . Wenn dieses Ideal dicht in   liegt, so sagt man,   sei eine C*-Algebra mit stetiger Spur. Es gilt folgender Satz.

  • C*-Algebren mit stetiger Spur sind liminal, das Spektrum einer solchen C*-Algebra ist ein Hausdorffraum.

Die oben genannte C*-Algebra   ist ein Beispiel für eine C*-Algebra mit stetiger Spur. Die Unter-C*-Algebra   ist keine C*-Algebra mit stetiger Spur (für  ), aber als Unteralgebra liminal.