Duale C*-Algebra

Die dualen C*-Algebren, auch C*-Algebren kompakter Operatoren genannt, sind eine spezielle Unterklasse von in der Mathematik betrachteten C*-Algebren. Sie zeichnen sich durch eine besonders einfache Struktur aus.

Definition

Ist $M\subset A$ eine Teilmenge einer Algebra $A$, so heißt ${\mbox{lan}}(M):=\{x\in A;\,xM=\{0\}\}$ der Links-Annullator von $M$. Entsprechend heißt ${\mbox{ran}}(M):=\{x\in A;\,Mx=\{0\}\}$ der Rechts-Annullator von $M$. Ganz allgemein nennt man eine Banachalgebra dual, wenn folgende Dualitätsbeziehungen bestehen:

• ${\mbox{lan}}({\mbox{ran}})(I)\,=\,I$ für alle abgeschlossenen Linksideale $I\subset A$,
• ${\mbox{ran}}({\mbox{lan}})(I)\,=\,I$ für alle abgeschlossenen Rechtsideale $I\subset A$.

Bei C*-Algebren folgt jede der Bedingungen aus der jeweils anderen, da sich Links- und Rechtideale via Involution eineindeutig entsprechen.

Charakterisierungen

Eine C*-Algebra heißt elementar, wenn es einen Hilbertraum $H$ gibt, so dass sie isomorph zur Algebra $K(H)$ der kompakten Operatoren auf $H$ ist. Das eingeschränkte Produkt einer Familie $(A_{i})_{i}$ von C*-Algebren ist die Unteralgebra des kartesischen Produktes der $A_{i}$, die aus allen Tupeln $(x_{i})_{i}$ besteht, für die $\{i;\,\|x_{i}\|>\epsilon \}$ für jedes $\epsilon >0$ endlich ist. Zusammen mit der Norm $\|(x_{i})_{i}\|:=\sup _{i}\|x_{i}\|$ ist dies wieder einer C*-Algebra. Mit diesen Begriffsbildungen gilt nun:

Für eine C*-Algebra $A$ sind folgende Aussagen äquivalent:

• $A$ ist eine duale C*-Algebra.
• Die Summe der minimalen Linksideale liegt dicht in $A$.
• Die Summe der minimalen Rechtsideale liegt dicht in $A$.
• $A$ ist isomorph zu einer Unter-C*-Algebra einer elementaren C*-Algebra.
• $A$ ist isomorph zu einem eingeschränkten Produkt einer Familie elementarer C*-Algebren.
• Das Gelfand-Spektrum jeder maximalen kommutativen Unter-C*-Algebra ist diskret.
• Für jedes $x\in A$ ist der Operator der Linksmultiplikation $L_{x}:\,A\rightarrow A,\,y\mapsto xy$ ein schwach-kompakter Operator.
• Für jedes $x\in A$ ist der Operator der Rechtsmultiplikation $R_{x}:\,A\rightarrow A,\,y\mapsto yx$ ein schwach-kompakter Operator.

Dabei heißt ein Operator schwach-kompakt, wenn das Bild einer beschränkten Menge in der schwachen Topologie einen kompakten Abschluss hat.

Wegen dieser Charakterisierung nennt man duale C*-Algebren auch C*-Algebren kompakter Operatoren.

Beispiele

• Die Matrizen-Algebren $M_{n}(\mathbb {C} )$ $={\mathbb {C} }^{n\times n}$ sind elementar und daher dual, allgemeiner sind alle endlich-dimensionalen C*-Algebren dual.
• Die Folgenalgebra $c_{0}$ der komplexen Nullfolgen ist eingeschränktes Produkt von abzählbar vielen Kopien von $\mathbb {C} \cong M_{1}(\mathbb {C} )$ und daher dual.
• Ist $H$ ein Hilbertraum und ist $A$ eine Unter-C*-Algebra von $K(H)$, so ist $A$ dual. Nach obiger Charakterisierung erhält man so bis auf Isomorphie alle dualen C*-Algebren.
• Die Funktionenalgebra $C([0,1])$ ist nicht dual, denn sie ist kommutativ und hat kein diskretes Gelfand-Spektrum. Aus demselben Grunde sind die Folgenalgebren $c$ und $\ell ^{\infty }$ der konvergenten bzw. beschränkten Folgen nicht dual.

Eigenschaften

• Aus obigen Charakterisierungen ergibt sich leicht, dass Unter-C*-Algebren von dualen C*-Algebren und eingeschränkte Produkte dualer C*-Algebren wieder dual sind.

• Duale C*-Algebren sind liminal.

• Die Darstellungstheorie dualer C*-Algebren ist sehr einfach. Liegt die C*-Algebra als eingeschränktes Produkt elementarer C*-Algebren $K(H_{i})$ vor, so sind die irreduziblen Darstellungen bis auf Äquivalenz genau die Projektionen auf die Komponenten $K(H_{i})$.

Quellen

• W. Arveson: Invitation to C*-algebras, ISBN 0387901760
• J. Dixmier: Les C*-algèbres et leurs représentations, Gauthier-Villars, 1969