Carmichael-Funktion

Die Carmichael-Funktion aus dem Bereich der Mathematik ist eine zahlentheoretische Funktion, die zu jeder natürlichen Zahl n das kleinste $m=:\lambda (n)$ bestimmt, so dass:

g^{m}\equiv 1{\bmod {n}}

für jedes $g$ gilt, das teilerfremd zu $n$ ist. In gruppentheoretischer Sprechweise ist $\lambda (n)$ der Gruppenexponent der (primen) Restklassengruppe $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$ .

Die Carmichael-Funktion geht auf den Mathematiker Robert Daniel Carmichael zurück. Sie ist die maximale Periodenlänge des Bruches $1/n$ in seinen $g$ -adischen Darstellungen und spielt bei Primzahlen und fermatschen Pseudoprimzahlen eine Rolle.

Berechnung

Die Carmichael-Funktion lässt sich nach folgendem Schema berechnen:

{\begin{aligned}\lambda (1)&=1\\\lambda (2)&=1\\\lambda (4)&=2\\\lambda (2^{k})&=2^{k-2}\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \ k>2\\\lambda (p^{k})&=p^{k-1}\cdot (p-1)\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \ p\geq 3\ \mathrm {prim} ,k>0\\\lambda (p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdot \cdot \cdot p_{s}^{k_{s}})&=\operatorname {kgV} {\bigl (}\lambda (p_{1}^{k_{1}}),\lambda (p_{2}^{k_{2}}),...,\lambda (p_{s}^{k_{s}}){\bigr )}\end{aligned}}

Dabei stehen die $p_{i}$ für paarweise verschiedene Primzahlen und die $k_{i}$ für positive ganze Zahlen.

Die folgende Formel kommt zum selben Ergebnis:

Sei $m=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdot \cdot \cdot p_{s}^{k_{s}}$ die Primfaktorzerlegung von $m\in \mathbb {N}$ (mit $p_{1}=2$ , falls $m$ gerade):

$\lambda (m)=\operatorname {kgV} {\bigl (}\varphi (p_{1}^{k_{1}}),\varphi (p_{2}^{k_{2}}),...,\varphi (p_{s}^{k_{s}}){\bigr )}$ falls $m\not \equiv 0{\bmod {8}}$
$\lambda (m)=\operatorname {kgV} {\bigl (}\varphi (p_{1}^{k_{1}})/2,\varphi (p_{2}^{k_{2}}),...,\varphi (p_{s}^{k_{s}}){\bigr )}$ falls $m\equiv 0{\bmod {8}}$

Dabei bezeichnet $\varphi (x)$ die Eulersche φ-Funktion. Für Potenzen ungerader Primzahlen $p$ gilt $\lambda (p^{k})=\varphi (p^{k})$

Beispiel

\lambda (15)=\lambda (3\cdot 5)=\operatorname {kgV} {\bigl (}\varphi (3),\varphi (5){\bigr )}=\operatorname {kgV} {\bigl (}2,4{\bigr )}=4

g^{4}\equiv 1{\bmod {1}}5

gilt für alle

g

, die teilerfremd zur Zahl 15 sind.

Die Carmichael-Funktion und die eulersche φ-Funktion

Für die Zahlen Eins, Zwei, Vier, für jede ungerade Primzahlpotenz und für alle Doppelten von ungeraden Primzahlpotenzen sind die Carmichael-Funktion und die Eulersche φ-Funktion identisch. Genau dann, wenn $\lambda (n)=\varphi (n)$ , existieren auch Primitivwurzeln modulo $n$ . Im Allgemeinen unterscheiden sich beide Funktionen; $\lambda (n)$ ist jedoch stets ein Teiler von $\varphi (n)$ .

Eulersche φ-Funktion:
$\varphi (105)=\varphi (3\cdot 5\cdot 7)=\varphi (3)\cdot \varphi (5)\cdot \varphi (7)=2\cdot 4\cdot 6=48$
Carmichael-Funktion:
$\lambda (105)=\lambda (3\cdot 5\cdot 7)=\operatorname {kgV} {\bigl (}\varphi (3),\varphi (5),\varphi (7){\bigr )}=\operatorname {kgV} {\bigl (}2,4,6{\bigr )}=12$

Die ersten Werte von $\lambda (n)$ und $\varphi (n)$ bis $n=24$ in Gegenüberstellung – fett gedruckt, wenn verschieden.

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24
$\lambda (n)$	1	1	2	2	4	2	6	2	6	4	10	2	12	6	4	4	16	6	18	4	6	10	22	2
$\varphi (n)$	1	1	2	2	4	2	6	4	6	4	10	4	12	6	8	8	16	6	18	8	12	10	22	8

Die Carmichael-Funktion und die Carmichael-Zahl

Da die Carmichael-Funktion zu jeder natürlichen Zahl $n$ das kleinste $m=\lambda (n)$ bestimmt, so dass $g^{m}\equiv 1{\bmod {n}}$ für jedes $g\$ gilt, das teilerfremd zu $n\$ ist, und für jede Carmichael-Zahl $c$ die Differenz $c-1\$ durch $\lambda (c)$ teilbar ist, folgt aus: