Cauchy-Formel für mehrfache Integration

Mit der Cauchy-Formel für mehrfache Integration, benannt nach dem französischen Mathematiker Augustin Louis Cauchy, können gewisse $n$-te iterierte Integrale einer Funktion in einem einzigen Integral ausgedrückt werden.

Cauchys Formel

Sei $f$ eine stetige Funktion auf der reellen Achse.

Dann ist das $n$-te iterierte Integral von $f$ am Punkt $x$

$I^{n}(x)=\int _{a}^{x}\int _{a}^{\sigma _{1}}\cdots \int _{a}^{\sigma _{n-1}}f(\sigma _{n})\,\mathrm {d} \sigma _{n}\cdots \,\mathrm {d} \sigma _{2}\,\mathrm {d} \sigma _{1}$

durch das folgende Integral gegeben:

$I^{n}(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t$.

Beweis

Den Beweis erreicht man durch vollständige Induktion. Da $f$ stetig ist, kann man den Induktionsanfang mit dem Fundamentalsatz der Analysis herleiten.

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}I^{1}(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t=f(x)$;

wobei

$I^{1}(a)=\int _{a}^{a}f(t)\,\mathrm {d} t=0$.

Nehmen wir an, die Formel ist richtig für $n$. Nun gilt es zu beweisen, dass die Formel für $n+1$ stimmt.

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[{\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n}f(t)\,\mathrm {d} t\right]={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t$

Die Ableitung des Integrals kann man mit der Leibniz-Regel herleiten.

${\begin{aligned}I^{n+1}(x)&=\int _{a}^{x}\int _{a}^{\sigma _{1}}\cdots \int _{a}^{\sigma _{n}}f(\sigma _{n+1})\,\mathrm {d} \sigma _{n+1}\cdots \,\mathrm {d} \sigma _{2}\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&=\int _{a}^{x}{\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{\sigma _{1}}\left(\sigma _{1}-t\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&=\int _{a}^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \sigma _{1}}}\left[{\frac {1}{n!}}\int _{a}^{\sigma _{1}}\left(\sigma _{1}-t\right)^{n}f(t)\,\mathrm {d} t\right]\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&={\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n}f(t)\,\mathrm {d} t\end{aligned}}$

Der Beweis ist damit abgeschlossen.

Riemann-Liouville-Integral

Cauchys Formel gilt nur für natürliche Zahlen, weil die Fakultät nur für diese definiert ist. Das Riemann-Liouville-Integral erlaubt die mehrfache Integration nicht nur für die reellen, sondern auch für die komplexen Zahlen, indem man $(n-1)!$ durch $\Gamma (n)$ ersetzt, wobei $\Gamma$ die Gammafunktion bezeichnet:

$I^{\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{x}f(t)(x-t)^{\alpha -1}\,dt$.

Der Name wurde von Marcel Riesz in Anerkennung der Pionierarbeiten von Joseph Liouville und Bernhard Riemann gewählt.

Anwendungen

Mit ein paar Umformungsschritten ist es möglich auch eine Formel für die $\alpha$-te Ableitung zu finden.

Hier finden sich auch unter anderem Anwendungen wie zum Beispiel in der:

• Elektrochemie
• Rheologie
• Physik (Tautochron Problem)

Weblinks

• Alan Beardon: Fractional calculus II. University of Cambridge, 2000; abgerufen im 1. Januar 1. 
• https://www.math.uni-bielefeld.de/~emmrich/studenten/dimitri.pdf
• https://www.inm.uni-stuttgart.de/institut/mitarbeiter/hinze/papers/Diplomarbeit_hinze.pdf