Chapman-Kolmogorow-Gleichung

Die Chapman-Kolmogorow-Gleichung ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine Gleichung für die Übergangswahrscheinlichkeiten bei Markow-Ketten oder allgemeiner bei Markow-Prozessen. Die differentielle Schreibweise der Chapman-Kolmogorow-Gleichung ist als Mastergleichung bekannt.

Markow-Ketten

Die Chapman-Kolmogorow-Gleichung für Markow-Ketten stellt die Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen des Zustandes $y$ nach $m+n$ Schritten, beginnend im Zustand $x$, als Summe möglicher Wege mit Zwischenstation $z$ dar. Formal bedeutet dies:

Sei $(X_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}$ eine Markow-Kette mit Übergangsmatrix $\Pi$ und Zustandsraum $\mathrm {E}$.

Dann gilt für alle $x,y\in \mathrm {E}$

$P(X_{m+n}=y\mid X_{0}=x)=\sum _{z\in \mathrm {E} }P(X_{m+n}=y\mid X_{m}=z)P(X_{m}=z\mid X_{0}=x)$.

Der Beweis der Gleichung wird in der Regel wie folgt geführt:

Unter Anwendung der Definition der Matrizenmultiplikation auf die Übergangsmatrix $\Pi =(\Pi (x,y))_{x,y\in \mathrm {E} }$ ergibt sich

${\begin{aligned}P(X_{m+n}=y\mid X_{0}=x)&{\overset {(*)}{=}}\Pi ^{n+m}(x,y)\\&{=}\sum _{z\in \mathrm {E} }\Pi ^{m}(x,z)\Pi ^{n}(z,y)\\&{\overset {(*)}{=}}\sum _{z\in \mathrm {E} }P(X_{m+n}=y\mid X_{m}=z)P(X_{m}=z\mid X_{0}=x)\,,\end{aligned}}$

wobei bei $(\ast )$ ausgenutzt wurde, dass $P(X_{m+n}=y\mid X_{n}=x)=\Pi ^{m}(x,y)\,$ für alle $m,n\in \mathbb {N} _{0},x,y\in \mathrm {E} \,$ mit $P(X_{n}=x)>0\,$ gilt.

Markow-Prozesse

Für einen allgemeinen Markow-Prozess mit der Halbgruppe $(K(t))_{t\geq 0}$ von Übergangskernen lässt sich die Chapman-Kolmogorow-Gleichung auch kurz schreiben als

$\forall \,s,t\in \mathbb {R} _{\geq 0}:\quad K(s+t)=K(s)K(t)\,,$

wobei $K(s)K(t)$ die Komposition von Kernen bezeichnet. Induktiv lässt sich daraus herleiten, dass

$\forall \,n\in \mathbb {N} ,t_{1},\ldots ,t_{n}\in \mathbb {R} _{\geq 0}\quad K\left(\sum _{i=1}^{n}t_{i}\right)=\prod _{i=1}^{n}K(t_{i})\,.$