Chiralität (Physik)

Chiralität (Händigkeit, Kunstwort, abgeleitet von griechisch χειρ, ch[e]ir „Hand“) bezeichnet in der Physik ein abstraktes Konzept im Rahmen der relativistischen Quantenmechanik und der Quantenfeldtheorie.

Die Chiralität eines Teilchens ist entscheidend bei Prozessen der schwachen Wechselwirkung, da W-Bosonen nur an Teilchen mit negativer (linkshändiger) Chiralität und an Antiteilchen mit positiver (rechtshändiger) Chiralität koppeln. Die Chiralität ist zu unterscheiden von der Helizität, der Komponente des Spins in Bewegungsrichtung, die keine Lorentz-Invariante ist. Nur im Grenzfall der Lichtgeschwindigkeit, also für masselose Teilchen, stimmen beide überein.

Die Chiralität physikalischer Größen lässt sich im Gegensatz zur Chiralität in der Chemie auch nicht durch eine Spiegelung am ebenen Spiegel veranschaulichen. Stattdessen beschreibt sie die Zerlegung von Dirac-Spinoren in orthogonale Zustände, die unter Paritätsoperationen ineinander übergehen.

Definition

Die fünfte Gamma-Matrix $\gamma ^{5}=\mathrm {i} \gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}$ heißt Chiralitätsoperator; er ist hermitesch und selbstinvers. Seine Eigenwerte sind daher $\pm 1$ :

den zum Eigenwert +1 gehörigen Eigenzustand nennt man den Zustand positiver/rechtshändiger Chiralität
den zum Eigenwert −1 gehörigen Eigenzustand nennt man den Zustand negativer/linkshändiger Chiralität.

Masselose Fermionen

Aus der Dirac-Gleichung lässt sich im Grenzfall masseloser Fermionen wie Neutrinos^[1] die Weyl-Gleichung $\mathrm {i} \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi =0$ erhalten. Im Rahmen der Weyl-Gleichung bietet es sich an, die Dirac-Matrizen nicht in Dirac-, sondern in Weyl-Darstellung zu notieren, sodass auf der Nichtdiagonalen nur Blockmatrizen auftreten. Durch das Fehlen des Masseterms entkoppeln somit die vier Komponenten der Dirac-Spinoren zu zwei unabhängigen Zweierspinoren:

\partial _{0}{\begin{pmatrix}\psi _{L}\\\psi _{R}\end{pmatrix}}=-\mathrm {i} {\vec {\sigma }}\cdot {\vec {\nabla }}{\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{L}\\\psi _{R}\end{pmatrix}}

.

Der Chiralitätsoperator kommutiert mit dem Weyl-Hamiltonoperator, sodass ein Satz gemeinsamer Energie- und Chiralitäts-Eigenzustände gefunden werden kann. Aufgrund der Diagonalität des Chiralitätsoperators in Weyl-Darstellung

\gamma ^{5}={\begin{pmatrix}-I_{2}&0\\0&I_{2}\end{pmatrix}}

,

folgt direkt, dass der obere Zweierspinor $\psi _{\text{L}}$ als linkshändiger und der untere Spinor $\psi _{\text{R}}$ als rechtshändiger Anteil gedeutet werden kann. Da Neutrinos nur schwach wechselwirken, sind rechtshändige Neutrinos bzw. linkshändige Antineutrinos hypothetische sterile Teilchen. Im Rahmen des Standardmodells dagegen sind alle Neutrinos negativer Chiralität und Antineutrinos positiver Chiralität.

Massebehaftete Fermionen

Da der Dirac-Hamiltonoperator einen Masseterm besitzt, kommutiert er nicht mit dem Chiralitätsoperator; es lassen sich daher keine gemeinsamen Eigenzustände konstruieren. Insbesondere folgt daraus auch, dass die Chiralität eines massiven Objektes keine Erhaltungsgröße darstellt, da der Chiralitätsoperator auch nicht mit dem Zeitentwicklungsoperator als Exponential des Hamiltonoperators kommutiert.

Aus der Eigenschaft des Chiralitätsoperators bzw. der fünften Gamma-Matrix, ihr Selbstinverses zu sein, folgt jedoch, dass die Operatoren $P_{\text{R}}={\frac {1+\gamma ^{5}}{2}}$ und $P_{\text{L}}={\frac {1-\gamma ^{5}}{2}}$ einen vollständigen Satz von Projektionsoperatoren bilden. Sie projizieren die Anteile positiver bzw. negativer Chiralität aus dem Dirac-Spinor hinaus:

\gamma ^{5}P_{\text{R/L}}\psi \equiv \gamma ^{5}\psi _{\text{R/L}}=\pm \psi _{\text{R/L}}

.

Auf diese Weise kann jeder Dirac-Spinor in einen Anteil rechts- beziehungsweise linkshändiger Chiralität zerlegt werden.

Chiralität und schwache Wechselwirkung

In der schwachen Wechselwirkung spielt das Konzept der Chiralität eine entscheidende Rolle. Im Rahmen der historischen V-A-Theorie projizieren die geladenen Ströme der schwachen Wechselwirkung nur den linkshändigen Anteil der Fermionen heraus, sodass nur dieser an der Wechselwirkung teilhat.

In der Glashow-Salam-Weinberg-Theorie der elektroschwachen Vereinigung werden die linkshändigen Anteile einer Teilchengeneration zu Dubletts unter dem schwachen Isospin zusammengefasst (z. B. $(\nu _{e},e)_{L}$ bzw. $(u,d)_{L}$ ), während die rechtshändigen Anteile als Singuletts betrachtet werden ( $e_{R},u_{R},d_{R}$ ). Dadurch wirkt die kovariante Ableitung unterschiedlich auf die links- bzw. rechtshändigen Komponenten, sodass

die geladenen schwachen Ströme in Form der W-Bosonen nur auf die linkshändigen Anteile wirken
der neutrale schwache Strom in Form des Z-Bosons an rechts- und linkshändige Anteile unterschiedlich stark koppelt
der elektromagnetische Strom in Form des Photons rechts- und linkshändige Anteile nicht unterscheidet.

Zusammenhang mit anderen Konzepten

Helizität

Der Helizitätsoperator betrachtet die Projektion des Spins in Bewegungsrichtung eines Teilchens und ist daher im Gegensatz zum Chiralitätsoperator nicht lorentzinvariant. Im Gegensatz zum Chiralitätsoperator kommutiert der Helizitätsoperator jedoch mit dem Dirac-Hamiltonoperator, sodass die Helizität eine Erhaltungsgröße darstellt.

Im Falle masseloser Fermionen stimmen Helizität und Chiralität bis auf einen (Spin-)Faktor überein.

CP-Invarianz

Die Chiralität von Teilchen ist aufgrund der Tatsache, dass der Chiralitätsoperator mit den Gamma-Matrizen antikommutiert, nicht invariant unter Paritätsoperationen ${\mathcal {P}}$ (Paritätsverletzung):

{\mathcal {P}}\psi _{\text{R/L}}(x)=\gamma ^{0}{\frac {1\pm \gamma ^{5}}{2}}\psi ({\mathcal {P}}x)={\frac {1\mp \gamma ^{5}}{2}}\gamma ^{0}\psi ({\mathcal {P}}x)=({\mathcal {P}}\psi (x))_{\text{L/R}}

Ebenso ändert die Ladungskonjugation (Charge conjugation) ${\mathcal {C}}$ die Chiralität, da der Chiralitätsoperator zudem gleich seines komplex Konjugierten ist:

{\mathcal {C}}\psi _{\text{R/L}}(x)=\mathrm {i} \gamma ^{2}{\frac {1\pm \gamma ^{5^{*}}}{2}}\psi ^{*}(x)={\frac {1\mp \gamma ^{5}}{2}}\mathrm {i} \gamma ^{2}\psi ^{*}(x)=({\mathcal {C}}\psi (x))_{\text{L/R}}

Da somit Paritätsoperation und Ladungskonjugation gleichermaßen die Chiralität umkehren, bleibt die Chiralität unter einer Nacheinanderausführung beider Operationen erhalten. Diesen Fakt bezeichnet man als CP-Invarianz.

Einzelnachweise, Anmerkungen

↑ Im Rahmen des Standardmodells in ursprünglicher Fassung sind Neutrinos masselos. Experimente zur Neutrinooszillation haben gezeigt, dass sie eine nichtverschwindende Masse besitzen; die Beschreibung von Neutrinos als massive Objekte bedarf jedoch weiterführender physikalischer Modelle.

Weblinks

Helicity and chirality.

[1] Im Rahmen des Standardmodells in ursprünglicher Fassung sind Neutrinos masselos. Experimente zur Neutrinooszillation haben gezeigt, dass sie eine nichtverschwindende Masse besitzen; die Beschreibung von Neutrinos als massive Objekte bedarf jedoch weiterführender physikalischer Modelle.

[1]