Clairautsche Differentialgleichung

Die clairautsche Differentialgleichung ist eine nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung der Form

und ist somit ein Spezialfall der d’Alembertschen Differentialgleichung. Sie ist nach dem französischen Mathematiker Alexis-Claude Clairaut benannt.

Bestimmung von einigen Lösungen

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Es gibt zwei Haupttypen von Lösungen der clairautschen Differentialgleichung, die im Folgenden beschrieben werden. Dabei handelt es sich allerdings im Allgemeinen nicht um sämtliche Lösungen dieser Differentialgleichung. Sind nämlich   zwei unterschiedliche Lösungen mit   und  , so ist die Funktion

 

ebenfalls eine weitere Lösung, die in keine der beiden folgenden Lösungsklassen hineinfällt.

Triviale Geradenlösungen

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Für jedes   im Definitionsbereich von   sind die Geraden

 

Lösungen der clairautschen Differentialgleichung.

Nichttriviale Lösungen

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Sei   differenzierbar sowie   eine differenzierbare Funktion, welche der impliziten Gleichung

 

genügt. Dann ist

 

eine Lösung der clairautschen Differentialgleichung.

Für die Geraden gilt  , also

 

Im Fall der nichttrivialen Lösungen gilt

 
 

Zusammenhang zwischen beiden Lösungstypen

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Die Tangenten der nichttrivialen Lösungen sind triviale Geradenlösungen.

Die Tangente   der nichttrivialen Lösung   durch den Punkt   ist durch die Gleichung

 
 

gegeben. Wenn die nichttriviale Lösung strikt konvex bzw. strikt konkav ist, so trennt sie die Ebene daher in einen Bereich, in dem durch jeden Punkt zwei Geradenlösungen laufen, und einen Bereich, der frei von Lösungen ist; sie wird dann als Einhüllende bezeichnet. Lösungen sind dann nicht nur die Einhüllende selbst und die Geradenlösungen, sondern auch Lösungskurven, die stückweise auf Geraden und stückweise auf der Einhüllenden verlaufen.

Literatur

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  • Wolfgang Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 7. Auflage, Springer Verlag, Berlin 2000, ISBN 3-540-67642-2, § 4.